（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)=ln x+ln…——2010 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)+a x(a>0)$ 。
（1）当 $\mathrm{a}=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间。
（2）若 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 a 的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得：$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2-x}+a$ ，定义域为 $(0,2)$
（1）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当 $\mathrm{a}=1$ 时，令 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $\frac{1}{x}-\frac{1}{2-x}+1=0 \Rightarrow \frac{-x^{2}+2}{x(2-x)}=0$
当 $x \in(0, \sqrt{2}), f^{\prime}(x)>0$ ，为增区间；当 $x \in(\sqrt{2}, 2), f^{\prime}(x)<0$ ，为减函数。
（2）区间 $(0,1]$ 上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定
待定量 a 的值。
当 $x \in(0,1]$ 有最大值，则必不为减函数，且 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2-x}+a>0$ ，为单调递增区间。最大值在右端点取到。 $f_{\text {max }}=f(1)=a=\frac{1}{2}$ 。