若 A B C 的内角满足 sin A+ 2 sin B=…——2014 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5分）（2014•江苏）若 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角满足 $\sin \mathrm{A}+\sqrt{2} \sin \mathrm{~B}=2 \sin \mathrm{C}$ ，则 $\cos \mathrm{C}$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ．

考点 余弦定理；正弦定理．
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专题 三角函数的图像与性质；解三角形．
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分析 根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论。
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解答 解：由正弦定理得 $a+\sqrt{2} b=2 c$ ，得 $c=\frac{1}{2}(a+\sqrt{2} b)$ ，
由余弦定理得 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{a^{2}+b^{2}-\frac{1}{4}(a+\sqrt{2} b)^{2}}{2 a b}=\frac{\frac{3}{4} a^{2}+\frac{1}{2} b^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} a b}{2 a b}$
$=\frac{\frac{3}{4} a^{2}+\frac{1}{2} b^{2}}{2 a b}-\frac{\sqrt{2}}{4} \geq \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} b}{2 a b}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,
当且仅当 $\frac{\sqrt{3}}{2} a=\frac{\sqrt{2}}{2} b$ 时，取等号，
故 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \leq \cos \mathrm{C}<1$ ，故 $\cos \mathrm{C}$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ．
点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．