2013_新课标I卷
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上， $\angle A B C$ 的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D
（Ⅰ）证明： $\mathsf { D B } \mathrm { = D C } \mathrm { ; }$
（Ⅱ）设圆的半径为1， ${ \mathsf { B C } } { = } \sqrt { 3 }$ ，延长CE交AB于点F，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【考点】NC：与圆有关的比例线段
【专题】5B：直线与圆
【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得 $\angle A B E = \angle B C E$ ，由已知角平分线可得 $\angle A B E = \angle C B E$ ，于是得到 $\angle C B E = \angle B C E$ ，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知D
E为⊙O的直径， $\mathtt { R t \triangle D B E \cong R t \triangle D C E }$ ，利用三角形全等的性质即可得到 $D C = D B$
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到 $B G = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ．设DE的中点为O，连接BO，可得 $\angle B O G = 6 0 ^ { \circ }$ ．从而 $\angle A B E = \angle B C E = \angle C B E = 3 0 ^ { \circ }$ ．得到 $C F \bot B F$ ．进而得到 $\tt R t \triangle B C F$ 的外接圆的半径 $\mathtt { \mathtt { = } \mathtt { \mathtt { 1 } } \mathtt { \_ B C } }$
【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G由弦切角定理可得 $\angle A B E = \angle B C E$ ，而 $\angle A B E = \angle C B E$ $\therefore \angle C B E = \angle B C E , B E = C E .$ 又 $\because D B \bot B E , \therefore D E$ 为⊙O的直径， $\angle D C E = 9 0 ^ { \circ }$ $\therefore \Delta D B E \cong \Delta D C E , \therefore D C = D B .$
（II）由（I）可知： $\angle C D E = \angle B D E , D B = D C$ 故DG是BC的垂直平分线， $\therefore B G = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ 设DE的中点为O，连接BO，则 $\angle B O G = 6 0 ^ { \circ }$ 从而 $\angle A B E = \angle B C E = \angle C B E = 3 0 ^ { \circ }$ $\therefore C F \bot B F .$ $\therefore R t \triangle B C F$ 的外接圆的半径 $= \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力