（13 分）在 A B C 中， a=3, b=2 6 ,…——2013 高考数学第 15 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】（ I ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得 $\cos \mathrm{A}$ 的值。
（II）由条件利用余弦定理，解方程求得 c 的值，再进行检验，从而得出结论。
【解答】解：（I ）由条件在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=2 \sqrt{6}, \quad \angle \mathrm{~B}=2 \angle \mathrm{~A}$ ，
利用正弦定理可得 $\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}$ ，即 $\frac{3}{\sin \mathrm{~A}}=\frac{2 \sqrt{6}}{\sin 2 \mathrm{~A}}=\frac{2 \sqrt{6}}{2 \sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{~A}}$ ．
解得 $\cos \mathrm{A}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
（II）由余弦定理可得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A$ ，即 $9=(2 \sqrt{6})^{2}+c^{2}-2 \times 2 \sqrt{6} \times c \times \frac{\sqrt{6}}{3}$,

即 $c^{2}-8 c+15=0$ 。
解方程求得 $c=5$ ，或 $c=3$ ．
当 $c=3$ 时，此时 $a=c=3$ ，根据 $\angle B=2 \angle A$ ，可得 $B=90^{\circ}, A=C=45^{\circ}$ ， $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形，但此时不满足 $a^{2}+c^{2}=b^{2}$ ，故舍去。
当 $c=5$ 时，求得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{1}{3}, \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
$\therefore \cos 2 \mathrm{~A}=2 \cos ^{2} \mathrm{~A}-1=\frac{1}{3}=\cos \mathrm{B}, \quad \therefore \mathrm{B}=2 \mathrm{~A}$ ，满足条件．
综上，$c=5$ 。
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把 $c=3$ 舍去，这是解题的易错点，属于中档题．