2010_退役省自主命题 (2010·文)
15．若规定 $\mathrm{E}=\left\{a_{1}, a_{2} \ldots a_{10}\right\}$ 的子集 $\left\{a_{k_{1}} a_{k_{2}} \ldots, a_{k_{n}}\right\}$ 为 E 的第 k 个子集，其中 $\mathrm{k}=$
$2^{k_{1}}+2^{k_{2}{ }^{-1}}+\cdots+2^{k_{n}-1}$ ，则
①$\left\{a_{1}, a_{3}\right\}$ 是 E 的第 $\_\_\_\_$个子集；
（2） E 的第 211 个子集是 $\_\_\_\_$
【解答】
（5分）（2010•湖南）若规定 $\mathrm{E}=\left\{\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2} \ldots \mathrm{a}_{10}\right\}$ 的子集 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{k}_{1}}, \mathrm{a}_{\mathrm{k}_{2}} \cdots, \mathrm{a}_{\mathrm{k}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 为 E 的第 k个子集，其中 $\mathrm{k}=2^{\mathrm{k} 1-1}+2^{\mathrm{k} 2-1}+2^{\mathrm{k} 3-1}+\ldots+2^{\mathrm{kn}-1}$ ．则
（1）$\left\{\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{3}\right\}$ 是 E 的第 $\_\_\_\_$ 5个子集；
（2）E的第 211 个子集是 $\_\_\_\_$ $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{5}, a_{7}, a_{8}\right\}$。
【考点】子集与真子集．
## 【专题】集合。
【分析】（1）由 $\mathrm{k}=2^{\mathrm{k} 1-1}+2^{\mathrm{k} 2-1}+2^{\mathrm{k} 3-1}+\ldots+2^{\mathrm{kn}-1}$ 受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出来， 0 为不出现， 1 为出现，进而可得答案；
（2）十进制211等于二进制11010011，将其对应的集合写出即可。
【解答】解：（1）$\left\{a_{1}, a_{3}\right\}=\left\{a_{3}, a_{1}\right\}$ 化成二进制 101 （ 0 为不出现， 1 为出现），这里 $a_{3}$ 出现，$a_{2}$ 不出现，$a_{1}$ 出现，所以是 101 ；
二进制的 101 等于十进制 5 ，故第一个空填 5 ；
故答案为： 5 ．
（2）十进制211等于二进制11010011，
即对应集合 $\left\{a_{8}, a_{7}, a_{5}, a_{2}, a_{1}\right\}$ ，
又由 $\left\{a_{8}, a_{7}, a_{5}, a_{2}, a_{1}\right\}=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{5}, a_{7}, a_{8}\right\}$
故第二空填 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{5}, a_{7}, a_{8}\right\}$ 。
故答案为：$\left\{a_{1}, a_{2}, a_{5}, a_{7}, a_{8}\right\}$ 。
【点评】本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，解题中，特别注意与原题的验证。