2011 全国高考数学 2011_退役省自主命题 (2011·理) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（12分）（2011•陕西）如图，设 P 是圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$ 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影， $M$ 为 $P D$ 上一点，且 $|M D|=\frac{4}{5}|P D|$ ．
（I）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程
（II）求过点 $(3,0)$ 且斜率 $\frac{4}{5}$ 的直线被 C 所截线段的长度．
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Accepted Answer

【考点】轨迹方程；直线与圆相交的性质． 【专题】计算题． 【分析】（ I ）由题意 P 是圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$ 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影， M 为 PD 上一点，且 $|\mathrm{MD}|=\frac{4}{5}|\mathrm{PD}|$ ，利用相关点法即可求轨迹； （II）由题意写出直线方程与曲线 C 的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度 【解答】解：（I）设M的坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ P的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{p}}, \mathrm{y}_{\mathrm{p}}ight)$ 由已知得：$\left\{\begin{array}{c}x_{p}=x \ y_{p}=\frac{5}{4} y\end{array}ight.$ $\because \mathrm{P}$ 在圆上， $	herefore x^{2}+\left(\frac{5}{4} yight)^{2}=25$ ，即C的方程为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ ． （II）过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线方程为：$y=\frac{4}{5}(x-3)$ ， 设直线与 C 的交点为 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}ight) \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}ight)$ ， 将直线方程 $y=\frac{4}{5}(x-3)$ 代入C的方程，得 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{(x-3)^{2}}{25}=1$ 即： $x^{2}-3 x-8=0 \quad 	herefore x_{1}=\frac{3-\sqrt{41}}{2}, \quad x_{2}=\frac{3+\sqrt{41}}{2}$ ， ∴ 线段 $A B$ 的长度为 $|A B|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}ight)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}ight)^{2}}=\sqrt{\left(1+\frac{16}{25}ight)\left(x_{1}-x_{2}ight)^{2}} =\sqrt{\frac{41 	imes 41}{25}}=\frac{41}{5}$. 【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式。

2011 高考数学第 17 题答案解析

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