（16）（本小题满分 12 分）设函数 f(x)= 2 2…——2012 高考数学第 13 题答案解析

【解析】
$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin ^{2} x=\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1}{2}(1-\cos 2 x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sin 2 x$
（I）函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$
（II）当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$g(x)=\frac{1}{2}-f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x$
当 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ 时，$\left(x+\frac{\pi}{2}\right) \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \quad g(x)=g\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2} \sin 2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2} \sin 2 x$ ，
当 $x \in\left[-\pi,-\frac{\pi}{2}\right)$ 时，$(x+\pi) \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \quad g(x)=g(x+\pi)=\frac{1}{2} \sin 2(x+\pi)=\frac{1}{2} \sin 2 x$ ，
则函数 $g(x)$ 在 $[-\pi, 0]$ 上的解析式为 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2} \sin 2 x,\left(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq 0\right) \\ \frac{1}{2} \sin 2 x,\left(-\pi \leq x<-\frac{\pi}{2}\right)\end{array}\right.$ 。
【考点定位】考查三角函数的性质和三角表示。
（．17）（本小题满分 12 分）
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是 $A$ 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道 $A$ 类试题和一道 $B$ 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是 $B$类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有 $n+m$ 道试题，其中有 $n$ 道 $A$ 类型试题和 $m$ 道 $B$ 类型试题，以 $X$ 表示两次调题工作完成后，试题库中 $A$ 类试题的数量。
（I）求 $X=n+2$ 的概率；
（II）设 $m=n$ ，求 $X$ 的分布列和均值（数。学期望）。
【解析】（I）$X=n+2$ 表示两次调题均为 $A$ 类型试题，由事件的独立性可得所求概率为 $\frac{n}{m+n} \times \frac{n+1}{m+n+2}$ 。
（II）$m=n$ 时，每次调用的是 $A$ 类型试题的概率为 $p=\frac{1}{2}$

随机变量 $X$ 可取 $n, n+1, n+2$ ，则
$P(X=n)=(1-p)^{2}=\frac{1}{4}, \quad P(X=n+1)=2 p(1-p)=\frac{1}{2}, \quad P(X=n+2)=p^{2}=\frac{1}{4}$
$X$ 的分布列如下：

所以 $E X=n \times \frac{1}{4}+(n+1) \times \frac{1}{2}+(n+2) \times \frac{1}{4}=n+1$ 。
答：（I）$X=n+2$ 的概率为 $\frac{n}{m+n} \times \frac{n+1}{m+n+2}$ ；（II）$X$ 的均值为 $n+1$ 。
【考点定位】考查概率分布列和数学期望。