已知 A B C 中，点D 在边BC上， A D B =…——2022 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 ${ \sqrt { 3 } } - 1 \# \# - 1 + { \sqrt { 3 } }$

【解析】

【分析】设 $C D = 2 B D = 2 m > 0$ ，利用余弦定理表示出 $\frac { A C ^ { 2 } } { A B ^ { 2 } }$ 后，结合基本不等式即可得解.

【详解】设 $C D = 2 B D = 2 m > 0$

则在 $\triangle A B D$ 中， $A B ^ { 2 } = B D ^ { 2 } + A D ^ { 2 } - 2 B D \cdot A D \cos \angle A D B = m ^ { 2 } + 4 + 2 m$

在 $\triangle A C D$ 中， $A C ^ { 2 } = C D ^ { 2 } + A D ^ { 2 } - 2 C D \cdot A D \cos \angle A D C = 4 m ^ { 2 } + 4 - 4 m$

$$ \frac {A C ^ {2}}{A B ^ {2}} = \frac {4 m ^ {2} + 4 - 4 m}{m ^ {2} + 4 + 2 m} = \frac {4 (m ^ {2} + 4 + 2 m) - 1 2 (1 + m)}{m ^ {2} + 4 + 2 m} = 4 - \frac {1 2}{(m + 1) + \frac {3}{m + 1}} $$

$$ \geq 4 - \frac {1 2}{2 \sqrt {(m + 1) \cdot \frac {3}{m + 1}}} = 4 - 2 \sqrt {3}, $$

当且仅当 $m + 1 = \frac { 3 } { m + 1 }$ 即 $m = \sqrt { 3 } - 1$ 时，等号成立，

所以当 $\frac { A C } { A B }$ 取最小值时， $m = \sqrt { 3 } - 1$

故答案为： $\sqrt { 3 } - 1$