【考点】AK：带电粒子在匀强电场中的运动
【专题】16：压轴题；531：带电粒子在电场中的运动专题【分析】（1）由动能定理求解粒子射出加速器的速度，根据对称性可知，粒子射出平移器时的速度大小 $\mathbf { v } _ { 1 } { = } \mathbf { v } _ { 0 }$
（2）粒子在第一个偏转电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求得加速度，由运动学位移公式求得竖直位移；粒子在两偏转电场间做匀速直线运动， $\mathbf { y } { = } \mathbf { v } \mathbf { t }$ 公式求得竖直位移，即可求得粒子竖直总位移表达式。当加速电压变为 $4 \mathrm { { U } _ { 0 } }$ 时欲使粒子仍从 A 点射入待测区域，粒子竖直总位移不变，再求解此时的偏转电压U；
（3）根据粒子刚射入时的受力大小，分析电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向。
（a）由沿 x 轴方向射入时，B 平行于 x 轴，由 $\mathrm { F } { = } \mathrm { q E }$ 求得 E；（b）由沿±y 轴方向射入时的受力情况可知：E 与 $_ \mathrm { O x y }$ 平面平行，根据力的合成，求得洛伦兹力 f的大小， $\mathrm { { f } = }$ $\mathbf { q v } _ { 1 } \mathbf { B }$ ，即可求得 $\begin{array} { r l } { \mathbf { B } \colon \mathbf { \Xi } ( \mathbf { \boldsymbol { c } } ) } \end{array}$ 设电场方向与x轴方向夹角为α． 若B沿x轴方向，由沿z轴方向射入时的受力情况，由力的合成法求得α。
【解答】解：（1）设粒子射出加速器的速度为 $\mathbf { v } _ { 0 } { } ;$ ，根据动能定理得： $\mathrm { q U } _ { 0 } { = } \frac { 1 } { 2 } m v _ { \circ } ^ { 2 }$
由题意得 $\mathbf { v } _ { 1 } { = } \mathbf { v } _ { 0 }$ ，即 $\mathbf { v } _ { 1 } = \sqrt { \frac { 2 q U _ { 0 } } { m } }$
（2）在第一个偏转电场中，设粒子的运动时间为t
加速度的大小 $\mathrm { a } { = } \frac { q U _ { 1 } } { m d }$
在离开时，竖直分速度 $\mathbf { v } _ { \mathrm { y } } { = } { \mathrm { a t } }$
竖直位移 $\mathbf { y } _ { 1 } { = } \frac { 1 } { 2 } a t ^ { 2 }$
水平位移 l＝v<sub>1</sub>t
粒子在两偏转电场间做匀速直线运动，经历时间也为t。
竖直位移 ${ \bf y } _ { 2 } { = } { \bf v } _ { \mathrm { y } } { \bf t }$
由题意知，粒子竖直总位移 $\scriptstyle \mathbf { y } = 2 \mathbf { y } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 2 }$
联立解得 ${ \bf y } { = } \frac { { U _ { 1 } } { l } ^ { 2 } } { { U _ { 0 } } d } ;$
欲使粒子仍从A 点射入待测区域，y不变，则当加速电压为 $4 \mathrm { { U } } _ { 0 }$ 时， $\mathrm { U } { = } 4 \mathrm { U } _ { 1 }$
（3）（a）由沿 x轴方向射入时的受力情况可知：B平行于x轴，且 $\mathrm { E } { = } \frac { F } { q } ;$
（b）由沿±y轴方向射入时的受力情况可知：E与Oxy平面平行，则
$\mathrm { F } ^ { 2 } { + } \mathrm { f } ^ { 2 } { = } ( \sqrt { 5 } F ) ^ { 2 }$ ，则 $\mathrm { f } { = } 2 \mathrm { F }$
且 $\mathbf { f } { = } _ { \mathbf { q } \mathbf { v } _ { 1 } \mathbf { B } }$
解得 ${ \bf B } { = } \frac { F } { q } \sqrt { \frac { 2 m } { q U _ { 0 } } }$
（c）设电场方向与x轴方向夹角为α
若B沿x轴方向，由沿z轴方向射入时的受力情况得
$$
\displaystyle ( \mathbf { f } + \mathbf { F } \mathbf { s i n } \alpha ) ~ ^ { 2 } + ~ ( \mathbf { F } \mathbf { c o s } \alpha ) ~ ^ { 2 } = ~ ( \sqrt { 7 } F ) ~ ^ { 2 }
$$
解得， $\alpha = 3 0 ^ { \circ }$ 或 $\alpha = 1 5 0 ^ { \circ }$
即 E 与Oxy平面平行且与x轴方向的夹角为 $3 0 ^ { \circ }$ 或 $1 5 0 ^ { \circ }$
同理，若B 沿﹣x轴方向，
E 与 $_ \mathrm { O x y }$ 平面平行且与 x 轴方向的夹角为 $\mathit { \Pi } - 3 0 ^ { \circ }$ 或 $\mathrm { ~ - ~ } 1 5 0 ^ { \circ }$
答：（1）粒子射出平移器时的速度大小 $\mathbf { v } _ { 1 }$ 为 $\sqrt { \frac { 2 q U _ { 0 } } { m } }$
> ②当加速电压变为 $4 \mathrm { { U } } _ { 0 }$ 时，欲使粒子仍从A 点射入待测区域，此时的偏转电压U 为$4 \mathrm { { U } } _ { 1 }$ ；
（3）该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向为：
（a）由沿x轴方向射入时的受力情况可知：B平行于x轴，且 $\mathrm { E } { = } \frac { F } { q } ;$
（b）由沿±y轴方向射入时的受力情况可知：E与 $_ \mathrm { O x y }$ 平面平行， $\mathrm { B } { = } \frac { F } { q } \sqrt { \frac { 2 m } { q U _ { 0 } } } ;$
（c）E 与 Oxy 平面平行且与 x 轴方向的夹角为 $3 0 ^ { \circ }$ 或 $1 5 0 ^ { \circ }$ ．若B沿﹣x轴方向，E与Oxy 平面平行且与 x 轴方向的夹角为 $\mathit { \Pi } - 3 0 ^ { \circ }$ 或 $\mathrm { ~ - ~ } 1 5 0 ^ { \circ }$
【点评】本题是带电粒子在电场、磁场及复合场中运动的问题，分析粒子的运动情况是解题的基础，关键是把握解题的规律。
