（5分）已知正四棱柱 A B C D-A_ 1 B_ 1…——2009 高考数学第 5 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】由 $B A_{1} \| C D_{1}$ ，知 $\angle A_{1} B E$ 是异面直线 $B E$ 与 $C D_{1}$ 所形成角，由此能求出异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角的余弦值。

【解答】解：∵ 正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，$E$ 为 $A A_{1}$ 中点，
$\therefore \mathrm{BA}_{1} \| \mathrm{CD}_{1}, \therefore \angle \mathrm{~A}_{1} \mathrm{BE}$ 是异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角，
设 $\mathrm{AA}_{1}=2 \mathrm{AB}=2$ ，
则 $A_{1} E=1, B E=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ ，
$A_{1} B=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}=\frac{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}^{2}+\mathrm{BE}^{2}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{E}^{2}}{2 \cdot \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B} \cdot \mathrm{BE}}$
$=\frac{5+2-1}{2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{2}}$
$=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ．
∴ 异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ．
故选：C．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养。