【答案】（Ⅰ） $2 \pi \mathrm { ~ ; ~ \left( ~ I I \right) ~ ( ~ i ~ ) ~ } g \left( x \right) { = } 1 0 \sin x { - } 8$ ；（ⅱ）详见解析
【解析】（1)因为 $\begin{array} { l } { f \left( x \right) = 1 0 \sqrt { 3 } \sin \displaystyle \frac { x } { 2 } \cos \displaystyle \frac { x } { 2 } + 1 0 \cos ^ { 2 } \displaystyle \frac { x } { 2 } } \\ { = 5 \sqrt { 3 } \sin x + 5 \cos x + 5 } \\ { = 1 0 \sin \left( x + \displaystyle \frac { \pi } { 6 } \right) + 5 . } \end{array}$
所以函数f(x)的最小正周期 $\mathbb { T } = 2 \pi$
(I)(i)将f(x)的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度后得到 $\nu = 1 0 \sin x + 5$ 的图象，再向下平移 $a ( a > 0 )$ 个单位长度后得到 $g ( x ) = 1 0 \sin x + 5 - a$ 的图象.
又已知函数g(x)的最大值为2，所以 $1 0 + 5 - a = 2$ ，解得 $a = 1 3$
所以 $g ( x ) = 1 0 \sin x - 8$
(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 $x _ { 0 }$ ，使得 $g ( x _ { 0 } ) > 0$ ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 $x _ { 0 }$ ，使得 $1 0 \sin x _ { \circ } - 8 > 0$ ，即 $\sin x _ { 0 } > \frac { 4 } { 5 }$
由 $\frac { 4 } { 5 } < \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ 知，存在 $0 < \alpha _ { 0 } < \frac { \pi } { 3 }$ ，使得 $\sin \alpha _ { 0 } = \frac { 4 } { 5 }$
由正弦函数的性质可知，当 $x \in \left( \alpha _ { 0 } , \pi - \alpha _ { 0 } \right)$ 时，均有 $\sin x > \frac { 4 } { 5 }$
因为 y = sin x的周期为2π，
所以当 $x \in \left( 2 k \pi + \alpha _ { 0 } , 2 k \pi + \pi - \alpha _ { 0 } \right) ( k \in Z )$ 时，均有 $\sin x > \frac { 4 } { 5 }$
因为对任意的整数k， $\left( 2 k \pi + \pi - \alpha _ { 0 } \right) - \left( 2 k \pi + \alpha _ { 0 } \right) = \pi - 2 \alpha _ { 0 } > \frac { \pi } { 3 } > 1$
所以对任意的正整数k，都存在正整数 $x _ { \mathrm { k } } \in \left( 2 k \pi + \alpha _ { \circ } , 2 k \pi + \pi - \alpha _ { \circ } \right)$ ，使得 $\sin x _ { \mathrm { k } } > \frac { 4 } { 5 }$
亦即存在无穷多个互不相同的正整数 $x _ { 0 }$ ，使得 $g ( x _ { 0 } ) > 0$
【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式
【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为
$f ( x ) = A \sin ( \omega x + \phi )$ 进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于 f x( )而言，即$f ( x ) A f ( x )$ 和f x f x k( ) ( )® + ，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x而言，即f x f x( ) ( )® w 和f x f x a( ) ( )® + ；本题第（ⅱ）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数 $x _ { 0 }$ ，使得 $g \left( x _ { 0 } \right) > 0$ ，转化为解集长度大于1，是本题的核心