（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)= e^ x x…——2009 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
解：（1）$f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}} e^{x}+\frac{1}{x} e^{x}=\frac{x-1}{x^{2}} e^{x}$ ，由 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x=1$
因为 当 $x<0$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ；当 $01$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
所以 $f(x)$ 的单调增区间是：$[1,+\infty)$ ；单调减区间是：$(-\infty, 0),(0,1]$ ．
②由 $f^{\prime}(x)+k(1-x) f(x)=\frac{x-1+k x-k x^{2}}{x^{2}} e^{x}=\frac{(x-1)(-k x+1)}{x^{2}} e^{x}>0$ ，
得：$(x-1)(k x-1)<0$ ．
故：当 $0

当 $k=1$ 时，解集是：$\varnothing$ ；
当 $k>1$ 时，解集是：$\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{k}