（12分）（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不…——2011 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（12分）（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 $\frac{80 \pi}{3}$ 立方米 ，且 $1 \geq 2 \mathrm{r}$ ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c （ $\mathrm{c}>3$ ）千元．设该容器的建造费用为 y 千元．
（I）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（II）求该容器的建造费用最小时的r．

考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．
专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．
分析：①由圆柱和球的体积的表达式，得到1和 $r$ 的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的 1 用 r 表示．并注意到写定义域时，利用 $1 \geq 2 r$ ，求出自变量 $r$ 的范围．
②用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（ 0,2 ］中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．
解答：
解：①由体积 $V=\frac{4}{3} \pi r^{3}+\pi r^{2} l=\frac{80 \pi}{3}$ ，解得 $l=\frac{80-4 r^{3}}{3 r^{2}}$ ，
$\therefore \mathrm{y}=2 \pi \mathrm{rl} \times 3+4 \pi \mathrm{r}^{2} \times \mathrm{c}$
$=6 \pi r \times \frac{80-4 r^{3}}{3 r^{2}}+4 c \pi r^{2}$
$=2 \pi \cdot \frac{80+(2 c-4) r^{3}}{r}$,
又 $1 \geq 2 r$ ，即 $\frac{80-4 r^{3}}{3 r^{2}} \geq 2 r$ ，解得 $0∴ 其定义域为 $(0,2]$ 。
②由①得，$y^{\prime}=8 \pi(c-2) r-\frac{160 \pi}{r^{2}}$ ，

$=\frac{8 \pi(c-2)}{r^{2}}\left(r^{3}-\frac{20}{c-2}\right), 0由于 $\mathrm{c}>3$ ，所以 $\mathrm{c}-2>0$
当 $r^{3}-\frac{20}{c^{-2}}=0$ 时，则 $r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}$
令 $\sqrt[3]{\frac{20}{c^{-2}}}=m, \quad(m>0)$
所以 $y^{\prime}=\frac{8 \pi(c-2)}{r^{2}}(r-m) \quad\left(r^{2}+r m+m^{2}\right)$
①当 $0\frac{9}{2}$ 时，
当 $r=m$ 时，$y^{\prime}=0$
当 $r \in(0, m)$ 时，$y^{\prime}<0$
当 $r \in(m, 2)$ 时，$y^{\prime}>0$
所以 $\mathrm{r}=\mathrm{m}$ 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．
②当 $m \geq 2$ 即 $3当 $\mathrm{r} \in(0,2)$ 时， $\mathrm{y}^{\prime}<0$ ，函数单调递减．
所以 $\mathrm{r}=2$ 是函数 y 的最小值点。
综上所述，当 $3<\mathrm{c} \leq \frac{9}{2}$ 时，建造费用最小时 $\mathrm{r}=2$ ；
当 $c>\frac{9}{2}$ 时，建造费用最小时 $r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}$
点评：利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点 ，同时分类讨论的思想也蕴含在其中。