若不同两点 P , Q 的坐标分别为（a , b），（3－…——2010 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（5分）（2010•湖南）若不同两点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 的坐标分别为 $(\mathrm{a}, \mathrm{b}), ~(3-\mathrm{b}, 3-\mathrm{a})$ ，则线段 PQ 的垂直平分线 1 的斜率为 $\_\_\_\_$ － 1 ，圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 关于直线对称的圆的方程为 $\_\_\_\_$ $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ ．
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】直线与圆．
【分析】先求出段 PQ 的垂直平分线 1 的方程，再求出圆心关于直线 $l$ 的对称点（即对称圆的圆心），半径仍是原来的圆的半径，从而得到对称圆的标准方程。
【解答】解：线段 PQ 的垂直平分线 I 的斜率为：$\frac{-1}{\mathrm{~K}_{\mathrm{PQ}}}=\frac{-1}{\frac{3-\mathrm{a}-\mathrm{b}}{3-\mathrm{b}-\mathrm{a}}}=-1$ ，
线段 PQ 的中点 $\left(\frac{\mathrm{a}+3-\mathrm{b}}{2}, \frac{\mathrm{~b}+3-\mathrm{a}}{2}\right)$ ，线段 PQ 的垂直平分线 1 的方程为： $\mathrm{y}-\frac{\mathrm{b}+3-\mathrm{a}}{2}=-1$

$$ \left(x-\frac{a+3-b}{2}\right), $$

即直线 $l$方程：$x+y-3=0$ ，
圆心（2，3）关于直线 $l$ 的对称点（ 0,1 ），即对称圆的圆心，半径不变，仍是 1 ，
∴ 圆 $(\mathrm{x}-2)^{2}+(\mathrm{y}-3)^{2}=1$ 关于直线对称的圆的方程为 $\mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}=1$ ．
故答案为 $-1 ; x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 。
【点评】本题考查直线方程的求法，求点关于直线的对称点，求圆的标准方程的方法．