（10分）在 ABC 中， cos B =- 5 13 ,…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】11：计算题．
【分析】（I）由 $\cos \mathrm{B}$ ， $\cos \mathrm{C}$ 分别求得 $\sin \mathrm{B}$ 和 $\sin \mathrm{C}$ ，再通过 $\sin \mathrm{A}=\sin (\mathrm{B}+\mathrm{C})$ ，利用两角和公式，进而求得 $\sin \mathrm{A}$ ．
（II）由三角形的面积公式及（1）中的 $\sin \mathrm{A}$ ，求得 $\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}$ 的值，再利用正弦定理求得 AB ，再利用正弦定理进而求得 BC ．
【解答】解：（I ）由 $\cos \mathrm{B}=-\frac{5}{13}$ ，得 $\sin \mathrm{B}=\frac{12}{13}$ ，
由 $\cos C=\frac{4}{5}$ ，得 $\sin C=\frac{3}{5}$ ．
所以 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B \cos C+\cos B \sin C=\frac{33}{65}$ ．
（II）由 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{33}{2}$ 得 $\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \sin \mathrm{A}=\frac{33}{2}$ ，
由（I）知 $\sin \mathrm{A}=\frac{33}{65}$ ，
故 $\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}=65$ ，
又 $A C=\frac{A B \times \sin B}{\sin C}=\frac{20}{13} A B$ ，
故 $\frac{20}{13} \mathrm{AB}^{2}=65, \mathrm{AB}=\frac{13}{2}$ ．
所以 $\mathrm{BC}=\frac{\mathrm{AB} \times \sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{C}}=\frac{11}{2}$ ．
【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用．属基础题．