2014_退役省自主命题 (2014·文)
21．（（本小题满分 12 分）
已知曲线 $\Gamma$ 上的点到点 $F(0,1)$ 的距离比它到直线 $y=-3$ 的距离小 2．
（1）求曲线 $\Gamma$ 的方程；
（2）曲线 $\Gamma$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$．直线 $y=3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M, N$，以 $M N$ 为
直径作圆 $C$，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$，试探究：当点 $P$ 在曲线 $\Gamma$ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $A B$ 的长度是否发生变化？证明你的结论．
【答案】①$x^{2}=4 y$。②当点 P 左曲线 $\Gamma$ 上运动时，绕段 AB 的长度不变，证明见解析。
## 【解析】
试题分析：（1）思路一：设 $S(x, y)$ 为卅线 $\Gamma$ 上保意一点，
依题意可知曲线 $\Gamma$ 是以点 $F(0,1)$ 为焦点，直线 $y=-1$ 准线的抛物线，
得到曲线 $\Gamma$ 的方程为 $x^{2}=4 y$．
思路二：设 $S(x, y)$ 为曲线 $\Gamma$ 上任意一点，
由 $|y-(-3)|=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-1)^{2}}=2$，化箔㭊得。
（2）当点 P 在曲线 $\Gamma$ 上运动时，线段 AB 的长度不变，证明如下：
由①知抛物线 $\Gamma$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^{2}$，
设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq 0\right)$，得 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}{ }^{2}$，
应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一齿得切线 $l$ 的方程为 $y=\frac{1}{2} x_{0} x-\frac{1}{4} x_{0}^{2}$．
由 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2} x_{0} x-\frac{1}{4} x_{0}^{2} \\ y=0\end{array}\right.$，得 $A\left(\frac{1}{2} x_{0}, 0\right)$．
由 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2} x_{0} x-\frac{1}{4} x_{0}^{2} \\ y=3\end{array}\right.$，得 $M\left(\frac{1}{2} x_{0}+\frac{6}{x_{0}}, 3\right)$．
根据 $N(0,3)$，得圆心 $C\left(\frac{1}{4} x_{0}+\frac{3}{x_{0}}, 3\right)$，半径 $r=\frac{1}{2}|M N|=\left|\frac{1}{4} x_{0}+\frac{3}{x_{0}}\right|$，
由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定 $|A B|=\sqrt{6}$．
试题解析：解法一：（1）设 $S(x, y)$ 为曲线 $\Gamma$ 上任意一点，
依题意，点 S 到 $F(0,1)$ 的距离与它到直线 $y=-1$ 的距离相等，
所以曲线 $\Gamma$ 是以点 $F(0,1)$ 为隹占，当线 $y=-1$ 为准线的抛物线，
所以曲线 $\Gamma$ 的方程为 $x^{2}=4 y$．
（2）当点 P 在曲线 $\Gamma$ 上运动时，线段 AB 的长度不变，证明如下：
由①知抛物线 $\Gamma$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^{2}$，
设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq 0\right)$，则 $y_{0}=\frac{1}{4} x_{0}{ }^{2}$，
由 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$，得切线 $l$ 的斜率
$k=\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}}=\frac{1}{2} x_{0}$,
所以切线 $l$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$．即 $y=\frac{1}{2} x_{0} x-\frac{1}{4} x_{0}^{2}$．
由 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2} x_{0} x-\frac{1}{4} x_{0}^{2} \\ y=0\end{array}\right.$，得 $A\left(\frac{1}{2} x_{0}, 0\right)$
由 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2} x_{0} x-\frac{1}{4} x_{0}^{2} \\ y=3\end{array}\right.$，得 $M\left(\frac{1}{2} x+\frac{6}{x_{0}}, 3\right)$．
又 $N(0,3)$，所以圆心 $C\left(\frac{1}{4} x_{0}+\frac{3}{x_{0}}, 3\right)$，
半径 $r=\frac{1}{2}|M N|=\left|\frac{1}{4} x_{0}+\frac{3}{x_{0}}\right|$，
$|A B|=\sqrt{|A C|^{2}-r^{2}}=\sqrt{\left[\frac{1}{2} x_{0}-\left(\frac{1}{4} x_{0}+\frac{3}{x_{0}}\right)\right]^{2}+3^{2}-\left(\frac{1}{4} x_{0}+\frac{3}{x_{0}}\right)^{2}}=\sqrt{6}$.
所以点 P 在曲线 $\Gamma$ 上运动时，线段 AB 的长度不变．
解法二：
①设 $S(x, y)$ 为曲线 $\Gamma$ 上任意一点，
则 $|y-(-3)|=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-1)^{2}}=2$，
依题意，点 $S(x, y)$ 只能在直线 $y=-3$ 的上方，所以 $y>-3$，
所以 $\sqrt{(x-0)^{2}+(y-1)^{2}}=y+1$，
化简得，曲线 $\Gamma$ 的方程为 $x^{2}=4 y$．
（2）同解法一。
考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系．