（5分）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C: x^ 2…——2016 高考数学第 12 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得 $F, A, B$ 的坐标，设出直线 $A E$ 的方程为 $y=k(x+a)$ ，分别令 $x=-c, x=0$ ，可得 $M, E$ 的坐标，再由中点坐标公式可得 $H$ 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．

【解答】解：由题意可设 $F(-\mathrm{c}, 0), \mathrm{A}(-\mathrm{a}, 0), \mathrm{B}(\mathrm{a}, 0)$ ，
设直线 $A E$ 的方程为 $y=k(x+a)$ ，
令 $x=-c$ ，可得 $M(-c, k(a-c))$ ，令 $x=0$ ，可得 $E(0, k a)$ ，
设 $O E$ 的中点为 $H$ ，可得 $H\left(0, \frac{k a}{2}\right)$ ，
由 $B$ ，$H, M$ 三点共线，可得 $k_{B H}=k_{B M}$ ，
即为 $\frac{\frac{k a}{2}}{-a}=\frac{k(a-c)}{-c-a}$ ，
化简可得 $\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{2}$ ，即为 $a=3 c$ ，
可得 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{1}{3}$ ．
另解：由 $\triangle A M F \sim \triangle A E O$ ，
可得 $\frac{a-c}{a}=\frac{M F}{O E}$ ，
由 $\triangle \mathrm{BOH} \sim \triangle \mathrm{BFM}$ ，
可得 $\frac{a}{a+c}=\frac{O H}{F M}=\frac{O E}{2 F M}$ ，
即有 $\frac{2(a-c)}{a}=\frac{a+c}{a}$ 即 $a=3 c$ ，
可得 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{1}{3}$ ．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．