已知O 为坐标原点，过抛物线 C : y ^ 2 = 2…——2022 高考数学第 10 题答案解析

【答案】ACD

【解析】

【分析】由 $\left| A F \right| = \left| A M \right|$ 及抛物线方程求得 $A ( \frac { 3 p } { 4 } , \frac { \sqrt { 6 } p } { 2 } )$ ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得 $B ( \frac { p } { 3 } , - \frac { \sqrt { 6 } p } { 3 } )$ ，即可求出 OB 判断B选项；由抛物线的定义求出$\left| A B \right| = \frac { 2 5 p } { 1 2 }$ 即可判断C选项；由 $\overrightarrow { O A } \cdot \overrightarrow { O B } < 0$ $\overrightarrow { M A } \cdot \overrightarrow { M B } < 0$ 求得 $\angle A O B$ $\angle A M B$ 为钝角即可判断D 选项.

【详解】

对于A，易得 $F ( { \frac { p } { 2 } } , 0 )$ ，由 $\left| A F \right| = \left| A M \right|$ 可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为$\frac { \frac { p } { 2 } + p } { 2 } = \frac { 3 p } { 4 }$ 代入抛物线可得 $y ^ { 2 } = 2 p \cdot \frac { 3 p } { 4 } = \frac { 3 } { 2 } p ^ { 2 }$ ，则 $A ( \frac { 3 p } { 4 } , \frac { \sqrt { 6 } p } { 2 } )$ ，则直线AB的斜率为 $\frac { \frac { \sqrt { 6 } p } { 2 } } { \frac { 3 p } { 4 } - \frac { p } { 2 } } = 2 \sqrt { 6 }$ ，A 正确；对于B，由斜率为 $2 \sqrt { 6 }$ 可得直线AB的方程为 $x = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 6 } } y + \frac { p } { 2 }$ ，联立抛物线方程得$y ^ { 2 } - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } p y - p ^ { 2 } = 0$ 设 $B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } )$ ，则 ${ \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } } p + y _ { 1 } = { \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } } p$ ，则 $y _ { 1 } = - { \frac { \sqrt { 6 } p } { 3 } }$ ，代入抛物线得 $\left( - \frac { \sqrt { 6 } p } { 3 } \right) ^ { 2 } = 2 p \cdot x _ { 1 }$ ，解得$x _ { 1 } = \frac { p } { 3 }$ ，则 $B ( \frac { p } { 3 } , - \frac { \sqrt { 6 } p } { 3 } )$ 则 $\left| O B \right| = { \sqrt { \left( { \frac { p } { 3 } } \right) ^ { 2 } + \left( - { \frac { { \sqrt { 6 } } p } { 3 } } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { \sqrt { 7 } p } { 3 } } \neq \left| O F \right| = { \frac { p } { 2 } }$ ，B错误；对于C，由抛物线定义知： $\big | A B \big | = \frac { 3 p } { 4 } + \frac { p } { 3 } + p = \frac { 2 5 p } { 1 2 } > 2 p = 4 \big | O F \big |$ ，C正确；对于D， $\overrightarrow { O A } \cdot \overrightarrow { O B } = ( \frac { 3 p } { 4 } , \frac { \sqrt { 6 } p } { 2 } ) \cdot ( \frac { p } { 3 } , - \frac { \sqrt { 6 } p } { 3 } ) = \frac { 3 p } { 4 } \cdot \frac { p } { 3 } + \frac { \sqrt { 6 } p } { 2 } \cdot \left( - \frac { \sqrt { 6 } p } { 3 } \right) = - \frac { 3 p ^ { 2 } } { 4 } < 0$ ，则 $\angle A O B$ 为钝角，又 $\overrightarrow { M A } \cdot \overrightarrow { M B } = ( - \frac { p } { 4 } , \frac { \sqrt { 6 } p } { 2 } ) \cdot ( - \frac { 2 p } { 3 } , - \frac { \sqrt { 6 } p } { 3 } ) = - \frac { p } { 4 } \cdot \left( - \frac { 2 p } { 3 } \right) + \frac { \sqrt { 6 } p } { 2 } \cdot \left( - \frac { \sqrt { 6 } p } { 3 } \right) = - \frac { 5 p ^ { 2 } } { 6 } < 0$ ，则 $\angle A M B$ 为钝角，又 $\angle A O B + \angle A M B + \angle O A M + \angle O B M = 3 6 0 ^ { \circ }$ ，则 $\angle O A M + \angle O B M < 1 8 0 ^ { \circ }$ ，D 正确.故选：ACD.