在 ABC 中， sin ^ 2 ~A : sin ^ 2…——2011 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（5 分）（2011 • 四川）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\sin ^{2} \mathrm{~A} \leq \sin ^{2} \mathrm{~B}+\sin ^{2} \mathrm{C}-\sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}$ ，则 A 的取值范围是（）
A．$\left(0, \frac{\pi}{6}\right]$
B．$\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right)$
C．$\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$
D．$\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right)$

【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】三角函数的求值．
【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得 $\cos \mathrm{A}$ 的范围，进而求得 A 的范围。
【解答】解：由正弦定理可知 $\mathrm{a}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{A}, \mathrm{b}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{B}, \mathrm{c}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{C}$ ，
$\because \sin ^{2} \mathrm{~A} \leq \sin ^{2} \mathrm{~B}+\sin ^{2} \mathrm{C}-\sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}$ ，
$\therefore \mathrm{a}^{2} \leq \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{bc}$ ，
$\therefore \mathrm{bc} \leq \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}$
$\therefore \cos \mathrm{A}=\frac{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}}{2 \mathrm{bc}} \geq \frac{1}{2}$
$\therefore \mathrm{A} \leq \frac{\pi}{3}$
$\because \mathrm{A}>0$
$\therefore \mathrm{A}$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$
故选 C
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用。作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆。