（5分）已知 α 为第二象限角， sin α+cos α=…——2012 高考数学第 7 题答案解析

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由 $\alpha$ 为第二象限角，可知 $\sin \alpha>0, \cos \alpha<0$ ，从而可求得 $\sin \alpha-\cos \alpha= \frac{\sqrt{15}}{3}$ ，利用 $\cos 2 \alpha=-(\sin \alpha-\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)$ 可求得 $\cos 2 \alpha$
【解答】解：$\because \sin \alpha+\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，两边平方得： $1+\sin 2 \alpha=\frac{1}{3}$ ，
$\therefore \sin 2 \alpha=-\frac{2}{3}$ ，（1）
$\therefore(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=1-\sin 2 \alpha=\frac{5}{3}$ ，
$\because \alpha$ 为第二象限角，
$\therefore \sin \alpha>0, \quad \cos \alpha<0$ ，
$\therefore \sin \alpha-\cos \alpha=\frac{\sqrt{15}}{3}$ ，
$\therefore \cos 2 \alpha=-(\sin \alpha-\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)$
$=\left(-\frac{\sqrt{15}}{3}\right) \times \frac{\sqrt{3}}{3}$

$=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.
故选：A．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得 $\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{\sqrt{15}}{3}$ 是关键，属于中档题。