（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：

∵平面BCFE⊥平面ABC，且 $\mathrm { A C \perp B C }$

$\therefore \mathrm { A C } \perp$ 平面 BCK，BF⊂平面 BCK；

∴BF⊥AC；

又 $\mathrm { E F / / B C } , \mathrm { B E = E F = F C = 1 } , \mathrm { B C = 2 } ;$

$\therefore \triangle \mathrm { B C K }$ 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点；

$\therefore \mathrm { B F \bot C K }$ ，且 $\mathrm { A C } \cap \mathrm { C K = C } .$

$\therefore \mathrm { B F \perp }$ 平面 ACFD；

（Ⅱ）∵BF⊥平面 $\operatorname { A C F D } ;$

$\therefore \angle \mathrm { B D F }$ 是直线BD和平面ACFD所成的角；

$\because \mathrm { F }$ 为CK中点，且DF $/ / \mathrm { A C } ;$

∴DF 为 $\triangle \tt A C K$ 的中位线，且 $\mathrm { A C = 3 }$

$$ \therefore D F = \frac { 3 } { 2 } $$

又 $\mathtt { B F } = \sqrt { 3 } ;$

∴在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { B F D }$ 中， $B D = \sqrt { 3 + \frac { 9 } { 4 } } = \frac { \sqrt { 2 1 } } { 2 }$ $\cos \angle B D F = \frac { D F } { B D } = \frac { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { \sqrt { 2 1 } } { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 1 } } { 7 } ;$

即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 ${ \frac { \sqrt { 2 1 } } { 7 } } .$

【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义