2024_省自主命题（广西）
14. 如图甲，圆柱形管内封装一定质量的理想气体，水平固定放置，横截面积 $S = 5 0 0 \mathrm { m m } ^ { 2 }$ 的活塞与一光滑轻杆相连，活塞与管壁之间无摩擦。静止时活塞位于圆管的b处，此时封闭气体的长度 $l _ { 0 } = 2 0 0 \mathrm { m m }$ 。推动轻杆先使活塞从b处缓慢移动到离圆柱形管最右侧距离为5mm的a处，再使封闭气体缓慢膨胀，直至活塞回到b处。设活塞从a处向左移动的距离为x，封闭气体对活塞的压力大小为F，膨胀过程$F - { \frac { 1 } { 5 + x } }$ 曲线如图乙。大气压强 $p _ { 0 } = 1 \times 1 0 ^ { 5 } \mathrm { P a }$
（1）求活塞位于b处时，封闭气体对活塞的压力大小；
（2）推导活塞从a处到b处封闭气体经历了等温变化；
（3）画出封闭气体等温变化的 $p - V$ 图像，并通过计算标出a、b处坐标值。
(1) 50N; (2) 见解析; (3) 
【答案】（1）50N；（2）见解析；（3）
【解析】
【详解】（1）活塞位于b处时，根据平衡条件可知此时气体压强等于大气压强 $p _ { \theta }$ ，故此时封闭气体对活塞的压力大小为
$$ F = p _ {0} S = 1 \times 1 0 ^ {5} \times 5 0 0 \times 1 0 ^ {- 6} \mathrm{N} = 5 0 \mathrm{N} $$
（2）根据题意可知 $F - { \frac { 1 } { 5 + x } }$ 图线为一条过原点的直线，设斜率为k，可得
$$ F = k \cdot \frac {1}{5 + x} $$
根据 $F = p S$ 可得气体压强为
$$ p = \frac {k}{(5 + x) S} (\mathrm{SI}) $$
故可知活塞从a处到b处对封闭气体得
$$ p V = \frac {k}{(5 + x) S} \cdot S \cdot (x + 5) \times 1 0 ^ {- 3} (S I) = k \cdot 1 0 ^ {- 3} (\mathrm{SI}) $$
故可知该过程中对封闭气体的 $p V$ 值恒定不变，故可知做等温变化。
（3）分析可知全过程中气体做等温变化，开始在b处时
$$ p V = p _ {0} S l _ {0} $$
在b处时气体体积为
$$ V _ {b} = S l _ {0} = 1 0 \times 1 0 ^ {- 5} \mathrm{m} ^ {3} $$
在a处时气体体积为
$$ V _ {a} = S l _ {a} = 0. 2 5 \times 1 0 ^ {- 5} \mathrm{m} ^ {3} $$
根据玻意耳定律
$$ p _ {a} V _ {a} = p _ {b} V _ {b} = p _ {0} S l _ {0} $$
解得
$$ p _ {a} = 4 0 \times 1 0 ^ {5} \mathrm{Pa} $$
故封闭气体等温变化的 $p - V$ 图像如下
