2022_全国乙卷
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { x = \sqrt { 3 } \cos 2 t } \\ { y = 2 \sin t } \end{array} \right.$ ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $\rho \mathrm { s i n } \bigg ( \theta + \frac { \pi } { 3 } \bigg ) + m = 0$
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m 的取值范围
(1) ${ \sqrt { 3 } } x + y + 2 m = 0$ >; (2) $\left[ - { \frac { 1 9 } { 1 2 } } , { \frac { 5 } { 2 } } \right]$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】① ${ \sqrt { 3 } } x + y + 2 m = 0$
> ② $\left[ - { \frac { 1 9 } { 1 2 } } , { \frac { 5 } { 2 } } \right]$
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设 a的取值范围求解m 的范围即可.【小问1详解】
因为 l： $\rho \mathrm { s i n } \bigg ( \theta + \frac { \pi } { 3 } \bigg ) + m = 0$ ，所以 ${ \frac { 1 } { 2 } } \rho \cdot \sin \theta + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \rho \cdot \cos \theta + m = 0$
又因为 $\rho \cdot \sin \theta = y , \rho \cdot \cos \theta = x$ ，所以化简为 ${ \frac { 1 } { 2 } } y + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } x + m = 0$
整理得l的直角坐标方程： ${ \sqrt { 3 } } x + y + 2 m = 0$
【小问 2 详解】
**方法一**：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将 $x = { \sqrt { 3 } } \cos 2 t$ $y = 2 \sin t$ 代入 ${ \sqrt { 3 } } x + y + 2 m = 0$ 中，
可得 $3 \cos 2 t + 2 \sin t + 2 m = 0 \Rightarrow 3 ( 1 - 2 \sin ^ { 2 } t ) + 2 \sin t + 2 m = 0$
化简为 $- 6 \sin ^ { 2 } t + 2 \sin t + 3 + 2 m = 0$
要使l与C有公共点，则 $2 m = 6 \sin ^ { 2 } t - 2 \sin t - 3$ 有解，
令 $\sin t = a$ ，则 $a \in \left[ - 1 , 1 \right]$ ，令 $f ( a ) = 6 a ^ { 2 } - 2 a - 3$ $( - 1 { \leqslant } a { \leqslant } 1 )$
对称轴为 $a = \frac { 1 } { 6 }$ ，开口向上，
$$ \therefore f (a) _ {\max} = f (- 1) = 6 + 2 - 3 = 5 $$
$$ f (a) _ {\min} = f (\frac {1}{6}) = \frac {1}{6} - \frac {2}{6} - 3 = - \frac {1 9}{6}, $$
$\therefore - \frac { 1 9 } { 6 } \leq 2 m \leq 5$ ，即m 的取值范围为 $\left[ - { \frac { 1 9 } { 1 2 } } , { \frac { 5 } { 2 } } \right]$
**方法二**：直角坐标方程
由曲线C的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { x = \sqrt { 3 } \cos 2 t } \\ { y = 2 \sin t } \end{array} \right.$ ，t为参数，消去参数t，可得 $y ^ { 2 } = - { \frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { 3 } } x + 2$ 联立 $\left\{ { \sqrt { 3 } } x + y + 2 m = 0 \right.$ ，得 $3 y ^ { 2 } - 2 y - 4 m - 6 = 0 ( - 2 \leq y \leq 2 )$ ，即 $4 m = 3 y ^ { 2 } - 2 y - 6 = 3 { \Bigg ( } y - { \frac { 1 } { 3 } } { \Bigg ) } ^ { 2 } - { \frac { 1 9 } { 3 } }$ 即有 $- { \frac { 1 9 } { 3 } } \leq 4 m \leq 1 0$ ，即 $- \frac { 1 9 } { 1 2 } \leq m \leq \frac { 5 } { 2 }$ ，\m的取值范围是 $\left[ - { \frac { 1 9 } { 1 2 } } , { \frac { 5 } { 2 } } \right]$
**方法一**：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
**方法二**：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质<sub>上差不多，但容易忽视</sub>y<sub>的范围限制而出错</sub>