2008_退役省自主命题 (2008·理)
20．（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到两点 $(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})$ 的距离之和等于 4 ，设点 $P$ 的轨迹
为 $C$ ，直线 $y=k x+1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．
（ I ）写出 $C$ 的方程；
（II）若 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ ，求 $k$ 的值；
（III）若点 $A$ 在第一象限，证明：当 $k>0$ 时，恒有 $|\overrightarrow{O A}|>|\overrightarrow{O B}|$ ．
【解答】
本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识 ，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分 12 分。
解：
（I）设 $P(x, y)$ ，由椭圆定义可知，点 $P$ 的轨迹 $C$ 是以 $(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})$ 为焦点，长半轴为 2 的椭圆．它的短半轴 $b=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=1$ ，
故曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
（II）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，其坐标满足
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1, \\ y=k x+1 .\end{array}\right.$
消去 $y$ 并整理得 $\left(k^{2}+4\right) x^{2}+2 k x-3=0$ ，
故 $x_{1}+x_{2}=-\frac{2 k}{k^{2}+4}, x_{1} x_{2}=-\frac{3}{k^{2}+4}$ ．
若 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ ，即 $x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$ ．
而 $y_{1} y_{2}=k^{2} x_{1} x_{2}+k\left(x_{1}+x_{2}\right)+1$ ，
于是 $x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=-\frac{3}{k^{2}+4}-\frac{3 k^{2}}{k^{2}+4}-\frac{2 k^{2}}{k^{2}+4}+1=0$ ，
化简得 $-4 k^{2}+1=0$ ，所以 $k= \pm \frac{1}{2}$ ．
$$ \text { (III) } \begin{aligned} \left.\overrightarrow{|O A|}\right|^{2}-\overrightarrow{|O B|} & =x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) \\ & =\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)+4\left(1-x_{1}^{2}-1+x_{2}^{2}\right) \\ & =-3\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) \\ & =\frac{6 k\left(x_{1}-x_{2}\right)}{k^{2}+4} . \end{aligned} $$
因为 $A$ 在第一象限，故 $x_{1}>0$ ．由 $x_{1} x_{2}=-\frac{3}{k^{2}+4}$ 知 $x_{2}<0$ ，从而 $x_{1}-x_{2}>0$ ．又 $k>0$ ，故 $|\overrightarrow{O A}|^{2}-|\overrightarrow{O B}|^{2}>0$ ，
即在题设条件下，恒有 $|\overrightarrow{O A}|>|\overrightarrow{O B}|$ ．