20．（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到两点 $(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})$ 的距离之和等于 4 ，设点 $P$ 的轨迹
为 $C$ ，直线 $y=k x+1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．
（ I ）写出 $C$ 的方程；
（II）若 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ ，求 $k$ 的值；
（III）若点 $A$ 在第一象限，证明：当 $k>0$ 时，恒有 $|\overrightarrow{O A}|>|\overrightarrow{O B}|$ ．