2008 地方卷 · 理 数学

已知 $0<a<2$ ，复数 $z$ 的实部为 $a$ ，虚部为 1 ，则 $|z|$ 的取值范围是（C）

记等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}=\frac{1}{2}, S_{4}=20$ ，则 $S_{6}=(\mathrm{D})$

某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校
学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19 ．现用

分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）

已知命题 $p$ ：所有有理数都是实数，命题 $q$ ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）

设 $a \in \mathbf{R}$ ，若函数 $y=e^{a x}+3 x, x \in \mathbf{R}$ 有大于零的极值点，则（ B ）

阅读图3的程序框图，若输入 $m=4, n=6$ ，则输出 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$i=$ $\_\_\_\_$
（注：框图中的赋值符号＂$=$＂也可以写成＂$\leftarrow$＂或＂：$=$＂）

已知 $\left(1+k x^{2}\right)^{6}$（ $k$ 是正整数）的展开式中，$x^{8}$ 的系数小于 120 ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。

经过圆 $x^{2}+2 x+y^{2}=0$ 的圆心 $C$ ，且与直线 $x+y=0$ 垂直的直线

方程是 $\_\_\_\_$ ．

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程分别为 $\rho \cos \theta=3$ ， $\rho=4 \cos \theta\left(\rho \geqslant 0,0 \leqslant \theta<\frac{\pi}{2}\right)$ ，则曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\_\_\_\_$ ．

（不等式选讲选做题）已知 $a \in \mathbf{R}$ ，若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+x+\left|a-\frac{1}{4}\right|+|a|=0$ 有实根，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（几何证明选讲选做题）已知 $P A$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 $A, P A=2 . A C$ 是圆 $O$的直径，$P C$ 与圆 $O$ 交于点 $B, P B=1$ ，则圆 $O$ 的半径 $R=$ $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=A \sin (x+\varphi)(A>0,0<\varphi<\pi), x \in \mathbf{R}$ 的最大值是 1 ，其图像经过点 $M\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$.
（1）求 $f(x)$ 的解析式；（2）已知 $\alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $f(\alpha)=\frac{3}{5}, f(\beta)=\frac{12}{13}$ ，求 $f(\alpha-\beta)$ 的值．

（本小题满分 13 分）
随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 2 0 件、次品 4 件．已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、 2 万元、 1 万元，而 1件次品亏损 2 万元．设 1 件产品的利润（单位：万元）为 $\xi$ ．
（1）求 $\xi$ 的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即 $\xi$ 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 $1 \%$ ，一等品率提高为 $70 \%$ ．如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？

（本小题满分 14 分）
设 $b>0$ ，椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{2 b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，抛物线方程为 $x^{2}=8(y-b)$ 。如图4所示，过点 $F(0, b+2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$ ，已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_{1}$ ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
②设 $A, B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\triangle A B P$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。

（本小题满分 14 分）
设 $k \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{1-x}, x<1 \\ -\sqrt{x-1}, x \geqslant 1\end{array}, F(x)=f(x)-k x, x \in \mathbf{R}\right.$ ，试讨论函数 $F(x)$ 的单调性．

（本小题满分 14 分）
如图5所示，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是半径为 $R$ 的圆的内接四边形，其中 $B D$ 是圆的直径，$\angle A B D=60^{\circ}, \angle B D C=45^{\circ}, P D$ 垂直底面 $A B C D, P D=2 \sqrt{2} R$ ， $E, F$ 分别是 $P B, C D$ 上的点，且 $\frac{P E}{E B}=\frac{D F}{F C}$ ，过点 $E$ 作 $B C$ 的平行线交 $P C$ 于 $G$ ．
（1）求 $B D$ 与平面 $A B P$ 所成角 $\theta$ 的正弦值；
（2）证明：$\triangle E F G$ 是直角三角形；
（3）当 $\frac{P E}{E B}=\frac{1}{2}$ 时，求 $\triangle E F G$ 的面积．

图5