如图，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边…——2022 高考物理第 16 题答案解析

【答案】 $n = { \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } } , P C = { \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { 2 } } a$

【解析】

【详解】光线在M点发生折射有

$$ \mathrm { s i n } 6 0 ^ { \circ } = n \mathrm { s i n } \theta $$

由题知，光线经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，则

$$ \sin C = { \frac { 1 } { n } } $$

$$ C = 9 0 ^ { \circ } - \theta $$

联立有

$$ \tan \theta = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } $$

$$ n = { \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } } $$

根据几何关系有

$$ \tan \theta = \frac { M B } { B N } = \frac { a } { 2 B N } $$

解得

$$ N C = a - B N = a - { \frac { a } { \sqrt { 3 } } } $$

再由

$$ \tan \theta = { \frac { P C } { N C } } $$

解得

$$ P C = { \frac { { \sqrt { 3 } } - 1 } { 2 } } a $$