（12分） A B C 的内角 A, B, C 的对边分别…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【考点】 HU ：解三角形．
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据 $\sin \mathrm{C}$ 不为 0 求出 $\cos \mathrm{C}$ 的值，即可确定出出 C 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的值，即可求 $\triangle A B C$ 的周长．

【解答】解：（I）∵ 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $0<\mathrm{C}<\pi, \therefore \sin \mathrm{C} \neq 0$
已知等式利用正弦定理化简得： $2 \cos \mathrm{C}(\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}+\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{A})=\sin \mathrm{C}$ ，
整理得： $2 \cos C \sin (A+B)=\sin C$ ，
即 $2 \cos C \sin (\pi-(A+B))=\sin C$
$2 \cos \mathrm{Csin} \mathrm{C}=\sin \mathrm{C}$
$\therefore \cos \mathrm{C}=\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{C}=\frac{\pi}{3}$ ；
（II）由余弦定理得 $7=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{ab} \bullet \frac{1}{2}$ ，
$\therefore(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-3 \mathrm{ab}=7$ ，
$\because \mathrm{S}=\frac{1}{2} \mathrm{ab} \sin \mathrm{C}=\frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{ab}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{ab}=6$,
$\therefore(a+b)^{2}-18=7$ ，
$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=5$,
$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 的周长为 $5+\sqrt{7}$ ．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键。