13．（5分）已知 $a$ 与 $b$ 为两个垂直的单位向量，$k$ 为实数，若向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 与向量 $k \vec{a} -\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 垂直，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．
参考答案1
（5分）已知 a 与 b 为两个垂直的单位向量， k 为实…——2011 高考数学第 13 题答案解析
2011_老新课标卷 (2011·文)
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【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】11：计算题．
【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为 0 ；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出 k 值．
【解答】解：$\because \overrightarrow{\mathrm{a}} \perp \overrightarrow{\mathrm{b}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=0$
$\because \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 与 $k \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 垂直
$\therefore(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}) \cdot(\mathrm{k} \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}})=0$
即 $\overrightarrow{\mathrm{a}}^{2}+\mathrm{k} \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{b}-\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}^{2}=0$
$\therefore \mathrm{k}=1$
故答案为： 1
【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．
✅ 来源：2011年 · 全国 · 2011_老新课标卷 (2011·文) · 第 13 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验