A B C 中， D 是 B C 上的点， A D 平分…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】（ I ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；
（II）由 $\angle C=180^{\circ}-~(\angle B A C+\angle B) ~$ ，两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合 I）中的结论得答案。

【解答】解：（I ）如图，
由正弦定理得：
$\frac{\mathrm{AD}}{\sin \angle \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{BAD}}, \frac{\mathrm{AD}}{\sin \angle \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{DC}}{\sin \angle \mathrm{CAD}}$,
$\because \mathrm{AD}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}, \mathrm{BD}=2 \mathrm{DC}$ ，
$\therefore \frac{\sin \angle \mathrm{B}}{\sin \angle \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\frac{1}{2}$ ；
（ II ）$\because \angle C=180^{\circ}-(\angle B A C+\angle B), \angle B A C=60^{\circ}$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{C}=\sin (\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{B})=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \angle \mathrm{~B}+\frac{1}{2} \sin \angle \mathrm{~B}$,
由（I）知 $2 \sin \angle B=\sin \angle C$ ，
$\therefore \tan \angle B=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，即 $\angle B=30^{\circ}$ ．

【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．