（12分）已知等差数列 a _ n 的公差不为零， a _…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．

【专题】54：等差数列与等比数列

【分析】（I）设等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的公差为 ${ \mathsf { d } } { \neq } 0$ ，利用成等比数列的定义可得，

$\mathtt { a } _ { 1 1 } ^ { 2 } = \mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { a } _ { 1 3 } ,$ 再利用等差数列的通项公式可得 $\left( \mathsf { a } _ { 1 } { + } 1 0 \mathsf { d } \right) { \overset { } { = } } \mathsf { a } _ { 1 } \left( \mathsf { a } _ { 1 } { + } 1 2 \mathsf { d } \right)$ ，化为d $\left( 2 \mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { + } 2 5 \mathsf { d } \right) \mathsf { \Omega } = 0$ ，解出d即可得到通项公式 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$

（II）由（I）可得 $a _ { 3 n - 2 } = - 2 ( 3 n - 2 ) + 2 7 = - 6 n + 3 1$ ，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出 $\mathfrak { a } _ { 1 } { } ^ { + } \mathfrak { a } _ { 4 } { } ^ { + } \mathfrak { a } _ { 7 } { } ^ { + } . . . ^ { + }$ $a _ { 3 n - 2 }$

【解答】解：（I）设等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的公差为 ${ \sf d } \neq 0$ ，

由题意 $\mathsf { a } _ { 1 } , \mathsf { a } _ { 1 1 } , \mathsf { a } _ { 1 3 }$ 成等比数列， $\therefore a _ { 1 1 } ^ { 2 } = a _ { 1 } a _ { 1 3 } ,$

$\therefore ( \tt a _ { 1 } + 1 0 d ) ^ { 2 } = a _ { 1 } ( a _ { 1 } + 1 2 d )$ ，化为d $\left( 2 \mathsf { a } _ { 1 } \div 2 5 \mathsf { d } \right) = 0$

$\because d \neq 0 , \ \therefore 2 \times 2 5 + 2 5 { \mathrm { d } } = 0$ ，解得 ${ \mathsf { d } } = - \ 2$

$$ \therefore a _ { n } = 2 5 + ( n - 1 ) \times ( - 2 ) = - 2 n + 2 7 . $$

（II）由（I）可得 $a _ { 3 n - 2 } = - 2 ( 3 n - 2 ) + 2 7 = - 6 n + 3 1$ ，可知此数列是以25为首项$, \quad - 6 .$ 为公差的等差数列

$$ \therefore S _ { n } = \partial _ { 1 } + a _ { 4 } + a _ { 7 } + \ldots + a _ { 3 n - 2 } = \frac { n ( a _ { 1 } + a _ { 3 n - 2 } ) } { 2 } $$

$$ = \frac { n ( 2 5 - 6 n + 3 1 ) } { 2 } $$

$$ = - 3 n ^ { 2 } + 2 8 n . $$

【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．