2011_省自主命题（辽宁）
17．（12分）（2011•辽宁）已知等差数列 $\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \}$ }满足 $\mathrm { a _ { 2 } = 0 , ~ \ a _ { 6 } + a _ { 8 } = - \ 1 0 }$
（Ⅰ）求数列 $\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 $\{ \frac { \bar { \bf { a } } _ { \mathrm { { n } } } } { 2 ^ { { \mathrm { n } } - 1 } } \}$ 的前n项和
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】等差数列的通项公式；数列的求和
【专题】综合题
【分析】（I）
根据等差数列的通项公式化简 $\mathrm { a } _ { 2 } { = } 0 \mathrm { : }$ 和 $\mathrm { a _ { 6 } + a _ { 8 } = - 1 0 }$ ，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（II）
把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用 $\mathrm { a } _ { \mathrm { n } }$ 的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列 $\{ \frac { \bar { \bf { a } } _ { \bar { \bf { n } } } } { { \bf { \sigma } } _ { 2 } \bar { \bf { n } } ^ { - 1 } } \}$ 的前n项和的通项公式
【解答】解：（I）设等差数列 $\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的公差为d，由已知条件可得 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \tt a } _ { 1 } + { \tt d } = 0 } \\ { 2 { \tt a } _ { 1 } + 1 2 { \tt d } = - 1 0 } \end{array} \right. ,$
解得： $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt a } _ { 1 } = 1 } \\ { \tt d { = } - 1 } \end{array} \right.$
故数列 $\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的通项公式为 $\mathrm { a _ { n } = 2 \cdot n }$
（II）设数列 $\{ \frac { \bar { \bf { a } } _ { \bar { \bf { n } } } } { { \bf { \sigma } } _ { 2 } ^ { { \bf { n } } - 1 } } \}$ 的前n项和为S<sub>n</sub>，即S $= a _ { 1 } + \frac { a _ { 2 } } { 2 } + \cdots + \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n - 1 } } \textcircled { 1 }$ ，故 $\mathrm { \partial S _ { 1 } = 1 }$ ，
$$ \frac { s _ { { \mathfrak { n } } _ { - } } } { 2 } \frac { \bar { \mathfrak { a } } _ { 1 } } { 2 } + \frac { \bar { \mathfrak { a } } _ { 2 } } { 4 } + \cdots + \frac { \bar { \mathfrak { a } } _ { { \mathfrak { n } } } } { 2 ^ { \mathfrak { n } } } ( 2 ) , $$
当 $\mathrm { n } > 1$ 时，①﹣②得：
$$ \frac { S _ { n } } { 2 } = a _ { 1 } + \frac { a _ { 2 } - a _ { 1 } } { 2 } + \cdots + \frac { a _ { n } - a _ { n } - 1 } { 2 ^ { n - 1 } } - \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } $$
$$ = 1 - ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } ) - \frac { 2 - n } { 2 ^ { n } } $$
$$ = 1 - ( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } ) - \frac { 2 - n } { 2 ^ { n } } = \frac { n } { 2 ^ { n } } , $$
所以 $S _ { n } = \frac { n } { 2 ^ { n - 1 } } ,$
综上，数列 $\{ \frac { \mathsf { a } _ { \mathtt { n } } } { 2 ^ { \mathtt { n } - 1 } } \}$ 的前n项和S $= \frac { n } { 2 ^ { n - 1 } }$
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题