选修4－4；坐标系与参数方程 已知曲线 C_ 1 的参数方…——2012 高考数学第 23 题答案解析

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程； Q 8 ：点的极坐标和直角坐标的互化； QL ：椭圆的参数方程．

【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标
（2）利用参数方程设出 P 的坐标，借助于三角函数，即可求得 $|\mathrm{PA}|^{2}+|\mathrm{PB}|^{2}+\mid \mathrm{PC} \left|2+|P D|^{2}\right.$ 的取值范围．

【解答】解：（1）点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 的极坐标为
$\left(2, \frac{\pi}{3}\right),\left(2, \frac{5 \pi}{6}\right),\left(2, \frac{4 \pi}{3}\right),\left(2, \frac{11 \pi}{6}\right)$
点 $A, B, C$ ，$D$ 的直角坐标为 $(1, \sqrt{3}),(-\sqrt{3}, 1),(-1,-\sqrt{3}),(\sqrt{3},-1)$
②设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=2 \cos \phi \\ y_{0}=3 \sin \phi\end{array}\right.$（ $\phi$ 为参数）
$\mathrm{t}=|\mathrm{PA}|^{2}+|\mathrm{PB}|^{2}+|\mathrm{PC}|^{2}+|\mathrm{PD}|^{2}=4 \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{y}^{2}+16=32+20 \sin ^{2} \phi$
$\because \sin ^{2} \phi \in[0,1]$
$\therefore \mathrm{t} \in[32$ ，52］
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题。