【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；83：等差数列的性质；87：等比数列的性质；R9：反证法与放缩法证明不等式
【专题】54：等差数列与等比数列
【分析】（Ⅰ）根据条件以及 ${ \mathsf { d } } _ { \mathsf { n } } { = } { \mathsf { A } } _ { \mathsf { n } } - { \mathsf { B } } _ { \mathsf { n } }$ 的定义，直接求得 ${ \mathsf d } _ { 1 } , { \mathsf d } _ { 2 } , { \mathsf d } _ { 3 } , { \mathsf d } _ { 4 }$ 的值（Ⅱ）设 d 是非负整数，若 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是公差为 d 的等差数列，则 $\mathtt { a } _ { \mathsf { n } } { = } \mathtt { a } _ { 1 } { + } \ \mathrm { ~ ( ~ } \mathsf { n } - 1 \mathrm { ~ ) ~ } \mathtt { d }$ 从而证得 $d _ { n } = A _ { n } - B _ { n } = - \mathrm { ~ d ~ }$
$( \mathsf { n } { = } 1 , ~ 2 , ~ 3 , ~ 4 . . . )$ ．若 $d _ { n } = A _ { n } - B _ { n } = - \alpha , ( n = 1 , 2 , 3 , 4 \ldots )$ ．可得 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是一个不减的数列，
求得 $d _ { n } = A _ { n } - B _ { n } = - \mathrm { ~ d ~ }$ ，即 $\widehat { \sf a } _ { \sf n + 1 } - \sf { a } _ { \sf n } = { \sf d }$ ，即 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是公差为d 的等差数列，命题得证（Ⅲ）若 $a _ { 1 } = 2 , ~ \mathsf d _ { \mathsf n } = 1 ~ ( \mathsf n = 1 , ~ 2 , ~ 3 , ~ \ldots )$ ，则 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项不能等于零，再用反证法得到 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项不能超过 2，
从而证得命题
【解答】解：（Ⅰ）若 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数列， $\therefore d _ { 1 } = A _ { 1 } - B _ { 1 } = 2 - 1 = 1$
$$
\mathrm { d } _ { 2 } = \mathsf { A } _ { 2 } - \mathsf { B } _ { 2 } = 2 \mathrm { ~ - ~ } 1 = 1 , ~ \mathrm { ~ d } _ { 3 } = \mathsf { A } _ { 3 } - \mathsf { B } _ { 3 } = 4 \mathrm { ~ - ~ } 1 = 3 , ~ \mathrm { ~ d } _ { 4 } = \mathsf { A } _ { 4 } \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { B } _ { 4 } = 4 \mathrm { ~ - ~ } 1 = 3 .
$$
（Ⅱ）充分性：设 d 是非负整数，若 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是公差为 d 的等差数列，则 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \mathsf { = } \mathsf { a } _ { 1 } +$ （n﹣1）d，
$$
\therefore A _ { n } = a _ { n } = a _ { 1 } + ( \mathfrak { n } - 1 ) \ d , \ : \ : \mathtt { B } _ { \mathtt { n } } = a _ { \mathtt { n } + 1 } = \mathtt { a } _ { 1 } + \mathtt { n d } , \ : \ : \mathtt { \Gamma } \cdot \mathtt { d } _ { \mathtt { n } } = A _ { \mathtt { n } } - \mathtt { B } _ { \mathtt { n } } = - \mathtt { d } , \ : \ : \mathtt { ( \mathfrak { n } = 1 , \ \mathrm { ~ 2 } , \ : \mathrm { ~ 3 } , \ : \mathrm { ~ 4 . . . } ) } .
$$
必要性：若 $d _ { n } = A _ { n } - B _ { n } = - \mathrm { ~ d ~ }$ ，（n=1，2，3，4…）．假设 $\mathsf { a } _ { \mathsf { k } }$ 是第一个使 $\mathsf { a } _ { \mathsf { k } } - \mathsf { a } _ { \mathsf { k } - 1 } \mathsf { < } 0$ 的项，
则 $d _ { k } = A _ { k } - B _ { k } = a _ { k - 1 } - B _ { k } = a _ { k - 1 } - a _ { k } > 0$ ，这与 $\mathtt { d } _ { \mathfrak { n } } \equiv \textrm { - } \mathsf { d } \leqslant 0$ 相矛盾，故 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是一个不减的数列
$\therefore d _ { n } = A _ { n } - B _ { n } = a _ { n } - a _ { n + 1 } = - \mathrm { ~ d ~ }$ ，即 $\widehat { \sf a } _ { \sf n + 1 } - \sf { a } _ { \sf n } = { \sf d }$ ，故 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是公差为d 的等差数列
（Ⅲ）证明：若 $\mathtt { a } _ { 1 } = 2$ ${ \mathsf { d } } _ { \mathsf { n } } { = } 1 ( { \mathsf { n } } { = } 1 , 2 , 3 , \ldots )$ ），首先， $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项不能等于零，否则 ${ \mathsf { d } } _ { 1 } { = } 2 \ - \ 0 { = } 2$ ，矛盾
而且还能得到 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项不能超过2，用反证法证明如下：
假设 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项中，有超过2的，设 $\mathsf { a } _ { \mathsf { m } }$ 是第一个大于2的项，由于 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项中一定有1，否则与 ${ \mathsf d } _ { 1 } { = } 1$ 矛盾
当 $\mathsf { n } \geqslant \mathsf { m }$ 时， $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \geqslant 2$ ，否则与 ${ \mathsf { d } } _ { \mathsf { m } } { = } 1$ 矛盾
因此，存在最大的 i 在 2 到 m﹣1 之间，使 $\mathtt { a } _ { \mathrm { i } } = 1$ ，此时， ${ \mathsf { d } } _ { \mathsf { i } } { = } { \mathsf { A } } _ { \mathrm { i } } - { \mathsf { B } } _ { \mathsf { i } } { = } 2 - { \mathsf { B } } _ { \mathsf { i } } \leqslant$ 2﹣2=0，矛盾
综上， $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项不能超过2，故 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项只能是1或者2
下面用反证法证明 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项中，有无穷多项为1
若 $\mathsf { a } _ { \mathsf { k } }$ 是 最 后 一 个 1 ， 则 $\mathsf { a } _ { \mathsf { k } }$ 是 后 边 的 各 项 的 最 小 值 都 等 于 2 ， 故$d _ { k } = A _ { k } - B _ { k } = 2 - 2 = 0$ ，矛盾，
故 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项中，有无穷多项为 1
综上可得， $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项只能是1 或者2，且有无穷多项为1
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，
属于中档题