2016_新课标III卷
10．（5分）在封闭的直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 内有一个体积为V的球，若 $A B \bot B C$ AB=6，BC=8， $\mathsf { A A } _ { 1 } = 3$ ，则V的最大值是（ ）A．4π B $\frac { 9 \pi } { 2 }$ C．6π D $\frac { 3 2 \pi } { 3 }$
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何
【分析】根据已知可得直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的内切球半径为 $\frac { 3 } { 2 }$ ，代入球的体积公式，可得答案
【解答】解： $\because A B \bot B C$ ，AB=6，BC=8，
$$ \therefore A C = 1 0 . $$
故三角形ABC的内切圆半径 $\scriptstyle \mathsf { r } = { \frac { 6 + 8 - 1 0 } { 2 } } = 2$
又由 $\mathsf { A A } _ { 1 } = 3$
故直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的内切球半径为 $\frac { 3 } { 2 }$ ，
此时V的最大值 $\frac { 4 } { 3 } \pi \cdot ( \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 3 } = \frac { 9 \pi } { 2 }$
故选：B
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键