对于 c>0，当非零实数 a , b 满足 4 a^ 2…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 -2

## 【解析】

试题分析：法一：判别式法：令 $2 a+b=t$ ，则 $b=t-2 a$ ，代入到 $4 a^{2}-2 a b+4 b^{2}-c=0$ 中，得 $4 a^{2}-2 a(t-2 a)+4(t-2 a)^{2}-c=0$ ，即 $24 a^{2}-18 t a+4 t^{2}-c=0$

因为关于 $a$ 的二次方程（1）有实根，所以 $\Delta=1 s^{2} t^{2}-4 \times 2\left(4 t^{2}-c\right) \geq 0$ ，可得 $t^{2} \leq \frac{8 c}{5}$ ，
$|2 a+b|$ 取最大值时，$\left\{\begin{array}{ll}a=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{c}{10}} & \left\lvert\, a=-\frac{3}{2} \sqrt{\frac{c}{10}}\right. \\ b=\sqrt{\frac{c}{10}} & \left\lvert\, b=-\sqrt{\frac{c}{10}}\right.\end{array}\right.$ ，
当 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{c}{10}} \\ b=\sqrt{\frac{c}{10}}\end{array}\right.$ 时，$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=\frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}-\frac{4 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{5}{c}=-2 \sqrt{\frac{10}{c}}+\left(\sqrt{\frac{5}{c}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\frac{5}{c}}-\sqrt{2}\right)^{2}-2 \geq-2$ ，
当 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2} \sqrt{\frac{c}{10}} \\ b=-\sqrt{\frac{c}{10}}\end{array}\right.$ 时，$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=-\frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{4 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{5}{c}=\frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{5}{c}>0$ ，
综上可知当 $c=\frac{5}{2}, a=\frac{3}{4}, b=\frac{1}{2}$ 时，$\left(\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)_{\min }=-2$
法二：柯西不等式：由 $4 a^{2}-2 a b+4 b^{2}-c=0$ 可得： $2 c=3(a+b)^{2}+5(a-b)^{2}$
$(2 a+b)^{2}=\left[\frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}(a+b)+\frac{\sqrt{5}}{10} \times \sqrt{5}(a+b)\right]^{2}$

$\leq\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{5}}{10}\right)^{2}\right]\left[(\sqrt{3}(a+b))^{2}+(\sqrt{5}(a-b))^{2}\right]=\leq 2 c\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{20}\right)=\frac{8 c}{5}$,
当且仅当 $\frac{\sqrt{3}}{2}: \frac{\sqrt{5}}{10}=\sqrt{3}(a+b): \sqrt{5}(a-b)$ 时取等号，即 $2 a=3 b$ 时，取等号，
这时 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{c}{10}} \\ b=\sqrt{\frac{c}{10}}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2} \sqrt{\frac{c}{10}} \\ b=-\sqrt{\frac{c}{10}}\end{array}\right.$
当 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{c}{10}} \\ b=\sqrt{\frac{c}{10}}\end{array}\right.$ 时，$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=\frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}-\frac{4 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{5}{c}=-\frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{5}{c}=5\left(\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^{2}-2 \geq-2$ ，
当 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2} \sqrt{\frac{c}{10}} \\ b=-\sqrt{\frac{c}{10}}\end{array}\right.$ 时，$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=-\frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{4 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{5}{c}=\frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{5}{c}>0$ ，
综上可知当 $c=\frac{5}{2}, a=\frac{3}{4}, b=\frac{1}{2}$ 时，$\left(\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)_{\min }=-2$
考点：柯西不等式．