2014_省自主命题（山东）
17.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，底面ABCD是等腰梯形， $\angle D A B = 6 0 ^ { \circ }$ $A B = 2 C D = 2$ ，M是线段AB 的中点.
（Ⅰ）求证： $C _ { 1 } M / / A _ { 1 } A D D _ { 1 }$
（Ⅱ）若 $C D _ { 1 }$ 垂直于平面ABCD且 $C D _ { 1 } = \sqrt { 3 }$ ，求平面 $C _ { 1 } D _ { 1 } M$ 和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，
$$ A B = 2 C D $$
所以 $A B / / \mathrm { D C }$ ,又由 M是 $A B$ 中点，
因此 $C D / / M A$ 且 $C D = M A$
连接 $A D _ { 1 }$
在四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，
因为 $C D / / C _ { 1 } D _ { 1 } , C D = C _ { 1 } D _ { 1 }$
可得 $C _ { 1 } D _ { 1 } / / M A , C _ { 1 } D _ { 1 } { = } M A$
所以四边形 $A M C _ { 1 } D _ { 1 }$ 为平行四边形
因此 $C _ { 1 } M / / D _ { 1 } A$
又 $C _ { 1 } M \not \subset \overrightarrow { \Psi } \overrightarrow { \mathrm { I f } } M _ { 1 } A D D _ { 1 } , D _ { 1 } A \subset \overrightarrow { \Psi } \overrightarrow { \mathrm { I f } } M _ { 1 } A D D _ { 1 }$
所以 $C _ { 1 } M / /$ 平面 $A _ { 1 } A D D _ { 1 }$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平 $D _ { 1 } C _ { 1 } M \cap$ 面 $A B C D = A B$ 过C向AB 做垂线交AB 于N，连接 $D _ { 1 } N$
由 $C D _ { 1 } \perp$ 面 $A B C D$ ,可得 $D _ { 1 } N \bot A B$ ,故 $\angle D _ { 1 } N C$ 为二面角 $C _ { 1 } - A B - C$ 的平面角
在 $R T \triangle D _ { 1 } C N$ 中， $B C = 1 , \angle N B C = 6 0 ^ { \circ }$ 可得 $C N = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
所以 $N D _ { 1 } = \sqrt { C D _ { 1 } ^ { 2 } + C N ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 }$
在 $R t \mathsf { V } D _ { 1 } C N$ 中， $\cos \angle D _ { 1 } N C = \frac { C N } { D _ { 1 } N } = \frac { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
所以平面 $C _ { 1 } D _ { 1 } M$ 和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$