（14分）如图，在四棱锥 P-A B C D 中， P A…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【分析】（ I ）推导出 $B D \perp P A, B D \perp A C$ ，由此能证明 $B D \perp$ 平面 $P A C$ ．
（ II ）推导出 $A B \perp A E, P A \perp A E$ ，从而 $A E \perp$ 平面 $P A B$ ，由此能证明平面 $P A B \perp$ 平面 PAE．
（III）棱 $P B$ 上是存在中点 $F$ ，取 $A B$ 中点 $G$ ，连结 $G F, C G$ ，推导出 $C G / / A E, F G / / P A$ ，从而平面 $C F G / /$ 平面 $P A E$ ，进而 $C F / /$ 平面 $P A E$ ．

【解答】证明：（I）∵ 四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，
$\therefore B D \perp P A, B D \perp A C$ ，
$\because P A \cap A C=A, \therefore B D \perp$ 平面 $P A C$ ．
（II）∵ 在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $E$ 为 $C D$ 的中点，$\angle A B C=60^{\circ}$ ，

$\therefore A B \perp A E, P A \perp A E$,
$\because P A \cap A B=A, \therefore A E \perp$ 平面 $P A B$ ，
$\because A E \subset$ 平面 $P A E, \therefore$ 平面 $P A B \perp$ 平面 $P A E$ ．
解：（III）棱 $P B$ 上是存在中点 $F$ ，使得 $C F / /$ 平面 $P A E$ ．
理由如下：取 $A B$ 中点 $G$ ，连结 $G F, C G$ ，
∵ 在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，$E$ 为 $C D$ 的中点，
$\therefore C G / / A E, F G / / P A$ ，
$\because C G \cap F G=G, \quad A E \cap P A=A$ ，
∴ 平面 $C F G / /$ 平面 $P A E$ ，
$\because C F \subset$ 平面 $C F G, \therefore C F / /$ 平面 $P A E$ ．

【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的眯是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．