（本小题满分 12 分） 设 A B C 的内角 A, B…——2014 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $\cos A= \pm \frac{1}{3}, a=2 \sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{3}$ ．

## 【解析】

试题分析：根据三角形面积公式可以求出 $\sin A=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，利用 $\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$ 可以解出 $\cos A= \pm \frac{1}{3}$ ，
对 $\cos A$ 进行分类讨论，通过余弦定理即可求出 $a$ 的值。
试题解析：由三角形面积公式，得 $\frac{1}{2} \times 3 \times 1 \cdot \sin A=\sqrt{2}$ ，故 $\sin A=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．
$\because \sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1, \quad \therefore \cos A= \pm \sqrt{1-\sin ^{2} A}= \pm \sqrt{1-\frac{8}{9}}= \pm \frac{1}{3}$.
当 $\cos A=\frac{1}{3}$ 时，由余弦定理得，$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A=9+1-2 \times 3 \times 1 \times \frac{1}{3}=8$ ，所以 $a=2 \sqrt{2}$ ；
当 $\cos A=-\frac{1}{3}$ 时，由余弦定理得，$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A=9+1+2 \times 3 \times 1 \times \frac{1}{3}=12$ ，所以 $a=2 \sqrt{3}$ ．
考点：1．三角形面积公式；2．余弦定理。