已知函数 f(x)=sin (x+θ)+a cos (x+…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值为 -1．②$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{6} \\ \theta=-\frac{\pi}{6}\end{array}\right.$．

## 【解析】

试题分析：（1）求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当 $a=\sqrt{2}, \theta=\frac{\pi}{4}$ 时，
$f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x-\sqrt{2} \sin x=\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$，再结合基本，三角函数性质求最值：因为 $x \in[0, \pi]$，从而 $\frac{\pi}{4}-x \in\left[-\frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$，放 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值为 -1。（2）两个独立条件求两个未知数，联立方程组求解即可。由 $\left\{\begin{array}{l}f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \\ f(\pi)=1\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}\cos \theta(1-2 a \sin \theta)=0 \\ 2 a \sin ^{2} \theta-\sin \theta-a=1\end{array}\right.$，又 $\theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 知

$\cos \theta \neq 0$，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ \theta=-\frac{\pi}{6}\end{array}\right.$．
试题解析：解（1）当 $a=\sqrt{2}, \theta=\frac{\pi}{4}$ 时，
$f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x-\sqrt{2} \sin x=\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$
因为 $x \in[0, \pi]$，从而 $\frac{\pi}{4}-x \in\left[-\frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$
故 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值为 -1
②由 $\left\{\begin{array}{c}f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \\ f(\pi)=1\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}\cos \theta(1-2 a \sin \theta)=0 \\ 2 a \sin ^{2} \theta-\sin \theta-a=1\end{array}\right.$，又 $\theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 知 $\cos \theta \neq 0$，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ \theta=-\frac{\pi}{6}\end{array}\right.$．

## 考点：三角函数性质