（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥 P - ABC…——2015 高考数学第 25 题答案解析

【解答】
（10分）
考点 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．
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专题 空间位置关系与距离；空间角．
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分析以 A 为坐标原点，以 $\mathrm{AB} , \mathrm{AD} , \mathrm{AP}$ 所在直线分别为 $\mathrm{x} , \mathrm{y} , \mathrm{z}$ 轴建系 $\mathrm{A}-\mathrm{xyz}$ 。
：（1）所求值即为平面 PAB 的一个法向量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；
（2）利用换元法可得 $\cos ^{2}<\overrightarrow{\mathrm{CQ}}, ~ \overrightarrow{\mathrm{DP}}>\leq \frac{9}{10}$ ，结合函数 $\mathrm{y}=\cos \mathrm{x}$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的单调性，计算即得结论．
解答 解：以 A 为坐标原点，以 $\mathrm{AB} , \mathrm{AD} , \mathrm{AP}$ 所在直线分别为 $\mathrm{x} , \mathrm{y} , \mathrm{z}$ 轴建系 $\mathrm{A}-\mathrm{xyz}$ 如图，由题可知 $\mathrm{B}(1,0,0), \mathrm{C}(1,1,0), \mathrm{D}(0,2,0), \mathrm{P}(0,0,2)$ ．
（1）$\because \mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{PAB}, \therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=(0,2,0)$ ，是平面 PAB 的一个法向量，
$\because \overrightarrow{\mathrm{PC}}=(1,1,-2), \overrightarrow{\mathrm{PD}}=(0,2,-2)$ ，

设平面 PCD 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 z=0 \\ 2 y-2 z=0\end{array}\right.$ ，
取 $y=1$ ，得 $\vec{\pi}=(1,1,1)$ ，

$\therefore \cos <\overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{m}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{m}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AD}}||\overrightarrow{\mathrm{m}}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ 平面 PAB 与平面 PCD 所成两面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；
②$\because \overrightarrow{\mathrm{BP}}=(-1,0,2)$ ，设 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{BP}}=(-\lambda, 0,2 \lambda)(0 \leq \lambda \leq 1)$ ，
又 $\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(0,-1,0)$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=(-\lambda,-1,2 \lambda)$ ，
又 $\overrightarrow{\mathrm{DP}}=(0,-2,2)$ ，从而 $\cos <\overrightarrow{\mathrm{CQ}}, \overrightarrow{\mathrm{DP}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{CQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DP}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CQ}}||\overrightarrow{\mathrm{DP}}|}=\frac{1+2 \lambda}{\sqrt{2+10 \lambda^{2}}}$ ，
设 $1+2 \lambda=t, t \in[1,3]$ ，
则 $\cos ^{2}<\overrightarrow{\mathrm{CQ}}, ~ \overrightarrow{\mathrm{DP}}>=\frac{2 t^{2}}{5 t^{2}-10 t+9}=\frac{2}{9\left(\frac{1}{t}-\frac{5}{9}\right)^{2}+\frac{20}{9}} \leq \frac{9}{10}$ ，
当且仅当 $\mathrm{t}=\frac{9}{5}$ ，即 $\lambda=\frac{2}{5}$ 时，$|\cos <\overrightarrow{\mathrm{CQ}}, \overrightarrow{\mathrm{DP}}>|$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，
因为 $\mathrm{y}=\cos \mathrm{x}$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上是减函数，此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值．
又 $\because \mathrm{BP}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}, \quad \therefore \mathrm{BQ}=\frac{2}{5} \mathrm{BP}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

点评 本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法 ：的积累，属于中档题．