（14 分）（2016•浙江）在 A B C 中，内角A，…——2016 高考数学第 16 题答案解析

（1）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，将已知等式 $b+c=2a\cos B$ 转化为角的关系：
$$ \sin B + \sin C = 2\sin A \cos B $$
在 $\triangle ABC$ 中，$C = \pi - (A+B)$，故 $\sin C = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$。
代入上式得：
$$ \sin B + (\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 2\sin A \cos B $$
整理得：
$$ \sin B = \sin A \cos B - \cos A \sin B $$
即：
$$ \sin B = \sin(A-B) $$
因为 $A, B \in (0, \pi)$，所以 $A-B \in (-\pi, \pi)$。
又因为 $\sin B > 0$，所以 $\sin(A-B) > 0$，故 $A-B \in (0, \pi)$。
由 $\sin B = \sin(A-B)$ 可得两种情况：
① $B = A - B \implies A = 2B$；
② $B = \pi - (A - B) \implies A = \pi$，这与三角形内角和为 $\pi$ 且 $B>0, C>0$ 矛盾，舍去。
综上所述，$A = 2B$。

（2）由 $\cos B = \frac{2}{3}$，且 $B \in (0, \pi)$，得：
$$ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$
由（1）知 $A = 2B$，则：
$$ \cos A = \cos 2B = 2\cos^2 B - 1 = 2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9} $$
$$ \sin A = \sin 2B = 2\sin B \cos B = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9} $$
在 $\triangle ABC$ 中，$C = \pi - (A+B)$，故：
$$ \cos C = \cos[\pi - (A+B)] = -\cos(A+B) $$
展开得：
$$ \cos C = -(\cos A \cos B - \sin A \sin B) = \sin A \sin B - \cos A \cos B $$
代入数值：
$$ \cos C = \frac{4\sqrt{5}}{9} \times \frac{\sqrt{5}}{3} - \left(-\frac{1}{9}\right) \times \frac{2}{3} $$
$$ \cos C = \frac{20}{27} + \frac{2}{27} = \frac{22}{27} $$