2013_新课标 I 卷 (2013·理)
23．已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$ ．
（1）把 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程化为极坐标方程；
（2）求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标（ $\rho \geq 0,0 \leq \theta<2 \pi$ ）．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程； QH ：参数方程化成普通方程．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）曲线 $C_{1}$ 的参数方程消去参数 $t$ ，得到普通方程，再由 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ ，能求出 $\mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程．
（2）曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程化为直角坐标方程，与 $\mathrm{C}_{1}$ 的普通方程联立，求出 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 交点的直角坐标，由此能求出 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 交点的极坐标。
【解答】解：（1）将 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$ ，消去参数 $t$ ，化为普通方程 $(x-4)^{2}+(y-$ 5） $2=25$ ，
即 $C_{1}: ~ x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ，
将 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$,
得 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$ ．
$\therefore \mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}-8 \rho \cos \theta-10 \rho \sin \theta+16=0$ ．
（2）∵ 曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$ ．
∴ 曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{y}=0$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\end{array}\right.$ ，
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$ ，
$\therefore \mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 和 $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题