2022_省自主命题（辽宁）
10. 如图所示，带电荷量为 $6 Q ( Q > 0 )$ 的球1固定在倾角为 $3 0 ^ { \circ }$ 光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L 处固定一电荷量为-Q的球2，斜面上距a点L 处的b点有质量为m 的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为 $\frac { L } { 2 }$ ，球2、3间的静电力大小为 $\frac { m g } { 2 }$ 。迅速移走球<sub>1</sub> <sub>后，球3</sub> <sub>沿斜面向下运动。</sub>g <sub>为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3</sub> <sub>的说法正确的是（ ）</sub>
BCD
【答案】BCD
【解析】
【详解】A．由题意可知三小球构成一个等边三角形，小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故小球1和3一定是斥力，小球1带正电，故小球3带正电，故A 错误；
B．小球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于 $\frac { L } { 2 }$ ，根据对称性可知，小球2对小球3做功为 $0 ;$ ；弹簧弹力做功为0，故根据动能定理有
$$ m g L \sin \theta = \frac {1}{2} m v ^ {2} $$
解得
$$ v = \sqrt {g L} $$
故 B 正确；
C．小球3在b点时，设小球 3的电荷量为 $q _ { \mathrm { : } }$ ，有
$$ k \frac {q Q}{L ^ {2}} = \frac {m g}{2} $$
设弹簧 弹力为F，根据受力平衡，沿斜面方向有的
$$ F = k \frac {q \cdot 6 Q}{L ^ {2}} - k \frac {q Q}{L ^ {2}} \sin 3 0 ^ {\circ} - m g \sin 3 0 ^ {\circ} $$
解得
$$ F = \frac {9}{4} m g $$
小球运动至a点时，弹簧的伸长量等 $\mp \frac { L } { 2 }$ ，根据对称性可知
$$ F + k \frac {q Q}{L ^ {2}} \sin 3 0 ^ {\circ} - m g \sin 3 0 ^ {\circ} = m a $$
解得
$$ a = 2 g $$
故 C 正确；
D．当运动至ab 中点时，弹簧弹力为0，此时小球2对小球3的力为
$$ F _ {2 3} = k \frac {q Q}{(\frac {\sqrt {3}}{2} L) ^ {2}} = \frac {4}{3} \cdot k \frac {q Q}{L ^ {2}} = \frac {4}{3} \times \frac {m g}{2} = \frac {2}{3} m g $$
斜面对小球的支持力为
$$ F _ {\mathrm{N}} = m g \cos 3 0 ^ {\circ} - F _ {2 3} = \frac {\sqrt {3}}{2} m g - \frac {2}{3} m g = \frac {3 \sqrt {3} - 4}{6} m g $$
根据牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力大小为 ${ \frac { 3 { \sqrt { 3 } } - 4 } { 6 } } m g$ ，故D 正确。
二、非选择题：本题共 5小题，共 54分。