（5 分）如图，在正方体 A B C D - A _ 1…——2013 高考数学第 8 题答案解析

【考点】MK：点、线、面间的距离计算

【专题】5F：空间位置关系与距离

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长 $\vert A B \vert = 3$ ，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出

【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长 $\vert A B \vert = 3$ 则 A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0）， ${ \sf A } _ { 1 }$ （3，0，3），${ \texttt { B 1 } } ( 3 , \ 3 , \ 3 ) , { \texttt { C 1 } } ( 0 , \ 3 , \ 3 ) , { \texttt { D 1 } } ( 0 , \ 0 , \ 3 )$ $\therefore \overrightarrow { B D _ { 1 } } = ( - 3 , - 3 , 3 )$ 设 ${ \textsf { P } } \left( \mathbf { { x } } , \ \mathbf { { y } } , \ \mathbf { { z } } \right)$ $\therefore \overrightarrow { \mathrm { B F } } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { \mathrm { B D } _ { 1 } } = \ ( \ - \ 1 , \ \textrm { } - \ 1 , \ 1 )$ $\therefore \overrightarrow { \mathrm { D P } } = \overrightarrow { \mathrm { D B } } + ( - 1 , ~ - 1 , ~ 1 ) = ~ ( 2 , ~ 2 , ~ 1 ) .$ $\therefore \mid \mathsf { P A } \mid = \mid \mathsf { P C } \mid = \mid \mathsf { P B } _ { 1 } \mid = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 6 } ,$ $\left| \mathsf { P D } \right| = \left| \mathsf { P A } _ { 1 } \right| = \left| \mathsf { P C } _ { 1 } \right| = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = 3 ,$

|PB $\mid = \sqrt { 3 } ,$

$$ \left| \mathsf { P D } _ { 1 } \right| = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 3 } . $$

故P到各顶点的距离的不同取值有 ${ \sqrt { 6 } }$ ，3， ${ \sqrt { 3 } } ,$ $2 \sqrt { 3 }$ 共 4 个

故选：B

【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键