2014_新课标 I 卷 (2014·理)
23．已知曲线 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$, 直线 $1:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=2-2 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）
（I）写出曲线C的参数方程，直线 $l$的普通方程．
（II）过曲线 C 上任意一点 P 作与 I 夹角为 $30^{\circ}$ 的直线，交于点 A ，求 $|\mathrm{PA}|$ 的最大值与最小值。
【考点】 KH ：直线与圆锥曲线的综合； QH ：参数方程化成普通方程．
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（I）联想三角函数的平方关系可取 $x=2 \cos \theta , y=3 \sin \theta$ 得曲线 $c$ 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 $l$ 的普通方程；
（II）设曲线 C 上任意一点 $\mathrm{P}(2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ ．由点到直线的距离公式得到 P 到直线 $l$的距离，除以
$\sin 30^{\circ}$ 进一步得到 $|P A|$ ，化积后由三角函数的范围求得 $|P A|$ 的最大值与最小值
【解答】解：（ I ）对于曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ，可令 $x=2 \cos \theta , y=3 \sin \theta$ ，
故曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=3 \sin \theta\end{array}\right.$ ，（ $\theta$ 为参数）．
对于直线｜：$\left\{\begin{array}{ll}x=2+t & \text {①} \\ y=2-2 t & \text {②}\end{array}\right.$ ，
由①得：$t=x-2$ ，代入②并整理得： $2 x+y-6=0$ ；
（ II ）设曲线 C 上任意一点 $\mathrm{P}(2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ ．
$P$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{\sqrt{5}}{5}|4 \cos \theta+3 \sin \theta-6|$ ．
则 $|P A|=\frac{d}{\sin 30^{\circ}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}|5 \sin (\theta+\alpha)-6|$ ，其中 $\alpha$ 为锐角。
当 $\sin (\theta+\alpha)=-1$ 时，$|P A|$ 取得最大值，最大值为 $\frac{22 \sqrt{5}}{5}$ ．
当 $\sin (\theta+\alpha)=1$ 时，$|P A|$ 取得最小值，最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．