2014 新课标 I 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3 \geq 0\right\}, B=\{x \mid-2 \leq x<2\}$ ，则 $A \cap B=$

2．（5分）$\frac{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}=$

3．（5分）设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$ ，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$是偶函数，则下列结论正确的是（）

4．（5分）已知 $F$ 为双曲线 $C$ ：$x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$ 的一个焦点，则点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为（ ）

5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

6．（5分）如图，圆 O 的半径为1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 $O P$ 的距离表示为 $x$ 的函数 $f(x)$ ，则 $y=f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 的图象大致为（ 

7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的 $a, b, k$ 分别为 $1,2,3$ ，则输出的 $\mathrm{M}=$ 

8．（5分）设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $\tan \alpha=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$ ，则

9．（5分）不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant 1 \\ x-2 y \leqslant 4\end{array}\right.$ 的解集记为D，有下列四个命题： $p_{1}: \forall(x, y) \in D, x+2 y \geq-2 p_{2}: \exists(x, y) \in D, x+2 y \geq 2$ $p_{3}: \forall(x, y) \in D, x+2 y \leq 3 p_{4}: \exists(x, y) \in D, x+2 y \leq-1$ 其中真命题是（ ）

10．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, P$ 是 $I$ 上一点，$Q$ 是直线 $P F$与C的一个交点，若 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}=4 \overrightarrow{\mathrm{FQ}}$ ，则 $|\mathrm{QF}|=$（ ）

11．（5分）已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ ，若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0}>0$ ，则实数 a 的取值范围是（）

12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（） 

13．（5分）$(x-y)(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ －20 －（用数字填写答案）

14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 $\_\_\_\_$ A ．

15．（5分）已知 $A, B, C$ 为圆 $O$ 上的三点，若 $\overrightarrow{A O}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的夹角为 $\_\_\_\_$ $90^{\circ}$ ．

16．（5分）已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B$ ，$C$ 的对边，$a=2$ 且 $(2+b )(\sin \mathrm{A}-\sin \mathrm{B})=(\mathrm{c}-\mathrm{b}) \sin \mathrm{C}$ ，则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的最大值为一 $\sqrt{3}$ 。

17．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, a_{n} \neq 0, a_{n} a_{n+1}=\lambda S_{n}-1$ ，其中 $\lambda$为常数． （ I ）证明：$a_{n+2}-a_{n}=\lambda$ （II）是否存在 $\lambda$ ，使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列？并说明理由．

18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：  （I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 $\overline{\mathrm{x}}$ 和样本方差 $\mathrm{s}^{2}$（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； （II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，$\sigma^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ 。 （i）利用该正态分布，求 $\mathrm{P}(187.8<\mathrm{Z}<212.2)$ ； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187．8，212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：$\sqrt{150} \approx 12.2$ ． 若 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 则 $P(\mu-\sigma<Z<\mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma<Z<\mu+2 \sigma)=0.9544$

19．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形，$A B \perp B_{1} C$ 。 （ I ）证明： $\mathrm{AC}=\mathrm{AB}_{1}$ ； （II）若 $A C \perp A B_{1}, \angle C B B_{1}=60^{\circ}, A B=B C$ ，求二面角 $A-A_{1} B_{1}-C_{1}$ 的余弦值。 

20．（12分）已知点A $(0,-2)$ ，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, \mathrm{~F}$ 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \mathrm{O}$ 为坐标原点． （I）求 E 的方程； （II）设过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P$ ，$Q$ 两点，当 $\triangle O P Q$ 的面积最大时，求$l$的方程

21．（12分）设函数 $f(x)=a e^{x} \ln x+\frac{b e^{x-1}}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处得切线方程为 $y=e(x-1)+2$ ． （I）求 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ ； （II）证明：$f(x)>1$ ．

22．（10分）如图，四边形 ABCD 是 $\odot \mathrm{O}$ 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ，且 $\mathrm{CB}=\mathrm{CE}$ ． （ I ）证明：$\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}$ ； （II）设 $A D$ 不是 $\odot O$ 的直径，$A D$ 的中点为 $M$ ，且 $M B=M C$ ，证明：$\triangle A D E$ 为等边三角形。 

23．已知曲线 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$, 直线 $1:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=2-2 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数） （I）写出曲线C的参数方程，直线 $l$的普通方程． （II）过曲线 C 上任意一点 P 作与 I 夹角为 $30^{\circ}$ 的直线，交于点 A ，求 $|\mathrm{PA}|$ 的最大值与最小值。

24．若 $a>0, b>0$ ，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{a b}$ ． （I）求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值； （II）是否存在 $a$ ，$b$ ，使得 $2 a+3 b=6$ ？并说明理由．