如图，长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2019 高考数学第 17 题答案解析

【解析】
【分析】
（1）利用长方体的性质，可以知道 $B_{1} C_{1} \perp$ 侧面 $A_{1} B_{1} B A$ ，利用线面垂直的性质可以证明出 $B_{1} C_{1} \perp E B$ ，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出 $B E \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；
（2）以点 $B$ 坐标原点，以 $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B B_{1}}$ 分别为 $x, y, z$ 轴，建立空间直角坐标系，设正方形 $A B C D$ 的边长为 $a, B_{1} B=b$ ，求出相应点的坐标，利用 $B E \perp E C_{1}$ ，可以求出 $a, b$ 之间的关系，分别求出平面 $E B C$ 、平面 $E C C_{1}$ 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角 $B-E C-C_{1}$ 的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角 $B-E C-C_{1}$ 的正弦值．

【详解】证明（1）因为 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是长方体，所以 $B_{1} C_{1} \perp$ 侧面 $A_{1} B_{1} B A$ ，而 $B E \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$ ，所以 $B E \perp B_{1} C_{1}$

又 $B E \perp E C_{1}, B_{1} C_{1} \cap E C_{1}=C_{1}, B_{1} C_{1}, E C_{1} \subset$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ，因此 $B E \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；
（2）以点 $B$ 坐标原点，以 $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B B_{1}}$ 分别为 $x, y, z$ 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

$B(0,0,0), C(0, a, 0), C_{1}(0, a, b), E\left(a, 0, \frac{b}{2}\right)$,

因为 $B E \perp E C_{1}$ ，所以 $\overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{E C_{1}}=0 \Rightarrow\left(a, 0, \frac{b}{2}\right) \cdot\left(-a, a, \frac{b}{2}\right)=0 \Rightarrow-a^{2}+\frac{b^{2}}{4}=0 \Rightarrow b=2 a$

所以 $E(a, 0, a), \overrightarrow{E C}=(-a, a,-a), \overrightarrow{C C_{1}}=(0,0,2 a), \overrightarrow{B E}=(a, 0, a)$ ，
设 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 是平面 $B E C$ 的法向量，
所以 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{B E}=0, \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{E C}=0 .\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a x_{1}+a z_{1}=0, \\ -a x_{1}+a y_{1}-a z_{1}=0 .\end{array} \Rightarrow \vec{m}=(1,0,-1)\right.\right.$ ，
设 $\vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 是平面 $E C C_{1}$ 的法向量，
所以 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{C C_{1}}=0, \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{E C}=0 .\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a z_{2}=0, \\ -a x_{2}+a y_{2}-a z_{2}=0 .\end{array} \Rightarrow \vec{n}=(1,1,0)\right.\right.$ ，
二面角 $B-E C-C_{1}$ 的余弦值的绝对值为 $\left|\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\right|=\frac{1}{2}$ ，
所以二面角 $B-E C-C_{1}$ 的正弦值为 $\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力．