2023_全国乙卷
18. 在 ${ \triangle A B C }$ 中，已知 $\angle B A C = 1 2 0 ^ { \circ }$ ， AB = 2 ， $A C = 1$
（1）求 $\sin \angle A B C$ ；
（2）若D 为BC上一点，且 $\angle B A D = 9 0 ^ { \circ }$ ，求 $\triangle A D C$ 的面积.
(1) $\frac { \sqrt { 2 1 } } { 1 4 }$ >; (2) $\frac { \sqrt { 3 } } { 1 0 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $\frac { \sqrt { 2 1 } } { 1 4 }$
> ② $\frac { \sqrt { 3 } } { 1 0 }$
【解析】
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为 $B C = \sqrt { 7 }$ ，然后由余弦定理可得 $\cos B = { \frac { 5 { \sqrt { 7 } } } { 1 4 } }$ ，最后由同角三角函数基本关系可得 $\sin B = { \frac { \sqrt { 2 1 } } { 1 4 } }$ ；
> ②由题意可得 $\frac { S _ { \triangle A B D } } { S _ { \triangle A C D } } = 4$ ，则 $S _ { \triangle A C D } = \frac { 1 } { 5 } S _ { \triangle A B C }$ ，据此即可求得 $\triangle A D C$ 的面积.
【小问 1 详解】
由余弦定理可得：
$$ B C ^ {2} = a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - 2 b c \cos A $$
$$ = 4 + 1 - 2 \times 2 \times 1 \times \cos 1 2 0 ^ {\circ} = 7, $$
则 $B C = \sqrt { 7 }$ $\cos B = { \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a c } } = { \frac { 7 + 4 - 1 } { 2 \times 2 \times { \sqrt { 7 } } } } = { \frac { 5 { \sqrt { 7 } } } { 1 4 } } ,$
si $1 B = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } B } } = { \sqrt { 1 - { \frac { 2 5 } { 2 8 } } } } = { \frac { \sqrt { 2 1 } } { 1 4 } } .$
【小问 2 详解】
由三角形面积公式可得 $\frac { S _ { \triangle A B D } } { S _ { \triangle A C D } } = \frac { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \times A B \times A D \times \sin 9 0 ^ { \circ } } { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \times A C \times A D \times \sin 3 0 ^ { \circ } } = 4$
$$ S _ {\triangle A C D} = \frac {1}{5} S _ {\triangle A B C} = \frac {1}{5} \times \left(\frac {1}{2} \times 2 \times 1 \times \sin 1 2 0 ^ {\circ}\right) = \frac {\sqrt {3}}{1 0}. $$