（本小题满分 14 分） 如图，建立平面直角坐标系 x O…——2012 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系 $\mathrm{xOy}, \mathrm{x}$ 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$－ $\frac{1}{20}\left(1+k^{2}\right) x^{2}(k>0)$ 表示的曲线上，其中 $k$ 与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
（1）求炮的最大射程；
②设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。

考点 函数模型的选择与应用．

专题 函数的性质及应用．
：
分析（1）求炮的最大射程即求
：$y=k x-\frac{1}{20}\left(1+k^{2}\right) x^{2}(k>0)$ 与 $x$ 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．
解答 解：（1）在 $y=k x-\frac{1}{20}\left(1+k^{2}\right) x^{2}(k>0)$ 中，令 $y=0$ ，得 $k x-\frac{1}{20}\left(1+k^{2}\right) x^{2}=0$ ．
由实际意义和题设条件知 $x>0, k>0$ ．
$\therefore x=\frac{20 k}{1+k^{2}}=\frac{20}{\frac{1}{k}+k} \leqslant \frac{20}{2}=10$ ，当且仅当 $k=1$ 时取等号。
∴ 炮的最大射程是 10 千米．
（2）$\because \mathrm{a}>0, \quad \therefore$ 炮弹可以击中目标等价于存在 $\mathrm{k}>0$ ，使 $\mathrm{ka}-\frac{1}{20}\left(1+\mathrm{k}^{2}\right) \mathrm{a}^{2}=3.2$ 成立，即关于 k 的方程 $\mathrm{a}^{2} \mathrm{k}^{2}-20 \mathrm{ak}+\mathrm{a}^{2}+64=0$ 有正根。
由韦达定理满足两根之和大于 0 ，两根之积大于 0 ，
故只需 $\triangle=400 a^{2}-4 a^{2}\left(a^{2}+64\right) \geq 0$ 得 $a \leq 6$ ．
此时， $\mathrm{k}=\frac{20 \mathrm{a} \pm \sqrt{\triangle}}{2 \mathrm{a}^{2}}>0$ ．
∴ 当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标．
点评 本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力 ：，属于中档题。