2015_省自主命题（湖北）
10.已知集合 $A = \{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 , x , y \in \mathbf { Z } \} ~ , ~ B = \{ ( x , y ) { \big | } | x | \leq 2 , | y | \leq 2 , x , y \in \mathbf { Z } \}$，定义集合 $A \oplus B = \{ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } , y _ { 1 } + y _ { 2 } ) { \big | } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \in A , ~ ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \in B \}$，则A⊕B中元素的个数为
C
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】C.
【解析】由题意知， $\begin{array} { r } { A = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 , \ x , y \in \mathbf { Z } \} = \{ ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , - 1 ) \} \ , \ B = \{ ( x , y ) | | x | \leq 2 , | y | \leq 2 , x , y \in \mathbf { Z } \} } \end{array}$ 所以由新定义集合A④B可知， $x _ { 1 } = \pm 1 , y _ { 1 } = 0$ 或 $x _ { 1 } = 0 , y _ { 1 } = \pm 1$ 当 $x _ { 1 } = \pm 1 , y _ { 1 } = 0$ 时， $x _ { 1 } + x _ { 2 } = - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3$ $y _ { 1 } + y _ { 2 } = - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2$，所以此时A⊕B中元素的个数有： $7 \times 5 = 3 5$ 个；当 $x _ { 1 } = 0 , y _ { 1 } = \pm 1$ 时， $x _ { 1 } + x _ { 2 } = - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2$ $y _ { 1 } + y _ { 2 } = - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3$，这种情形下和第一种情况下除 $y _ { 1 } + y _ { 2 }$ 的值取-3或3外均相同，即此时有5×2=10，由分类计数原理知， $A @ B$ 中元素的个数为 $3 5 + 1 0 = 4 5$ 个，故应选C.
【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题
【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.
第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）